נתונה הפונקציה \[f(x) = x^2 \cdot \sqrt{-2x + 10}\] (בתשובות שאינן מדויקות, השאירו שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית). א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה \(f(x)\). ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה \(f(x)\) עם הצירים. ג. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה \(f(x)\), וקבעו את סוגן. ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה \(f(x)\). ה. נתונה הפונקציה \(g(x) = f(x) - c\), \(c\) הוא פרמטר חיובי. הפונקציות \(f(x)\) ו-\(g(x)\) מוגדרות באותו התחום. גרף הפונקציה \(g(x)\) משיק לישר \(y = 20\). מצאו את הערך של \(c\).
הטיפ של עובד: כאשר ישר מהצורה \(y=k\) (ישר אופקי) משיק לגרף פונקציה, המשמעות הגרפית והאלגברית היא שיש לפונקציה נקודת קיצון (מקומית) שערך ה-\(y\) שלה הוא בדיוק \(k\). במקרה שלנו, הפונקציה \(g(x)\) היא הזזה של \(f(x)\) כלפי מטה (כי \(c\) חיובי), לכן נקודת המקסימום שלה היא זו שתשיק לישר האופקי הגבוה \(y=20\).
כדי שהפונקציה תהיה מוגדרת, הביטוי שבתוך השורש הריבועי חייב להיות אי-שלילי (גדול או שווה לאפס). \[-2x + 10 \ge 0\] דרישת הגדרה עבור שורש ריבועי. \[2x \le 10 \implies x \le 5\] העברת אגפים ובידוד המשתנה \(x\). תחום ההגדרה הסופי: \(x \le 5\).
מושגים: חקירת פונקציית שורש
1. חיתוך עם ציר ה-\(y\) (נציב \(x=0\)): \[f(0) = 0^2 \cdot \sqrt{-2(0) + 10} = 0 \cdot \sqrt{10} = 0\] הצבת \(x=0\), הנקודה היא ראשית הצירים. נקודת חיתוך: \((0, 0)\). 2. חיתוך עם ציר ה-\(x\) (נציב \(f(x)=0\)): \[x^2 \cdot \sqrt{-2x + 10} = 0\] השוואת הפונקציה כולה לאפס. \[x^2 = 0 \implies x = 0\] איפוס הגורם הראשון (מצאנו הרגע). \[\sqrt{-2x + 10} = 0 \implies -2x + 10 = 0 \implies x = 5\] איפוס הגורם השני (השורש), שהוא גם קצה תחום ההגדרה. נקודות החיתוך עם ציר ה-\(x\): \((0, 0)\) ו-\((5, 0)\).
מושגים: חקירת פונקציית שורש
נגזור את הפונקציה בעזרת נגזרת מכפלה: \([u \cdot v]' = u'v + uv'\). \(u = x^2 \implies u' = 2x\) \(v = \sqrt{-2x + 10} \implies v' = \frac{-2}{2\sqrt{-2x + 10}} = \frac{-1}{\sqrt{-2x + 10}}\} \[f'(x) = 2x\sqrt{-2x + 10} + x^2 \cdot \left( \frac{-1}{\sqrt{-2x + 10}} \right)\] הצבה לתוך חוק נגזרת מכפלה. \[f'(x) = \frac{2x(-2x + 10) - x^2}{\sqrt{-2x + 10}}\] הרחבה למכנה משותף \(\sqrt{-2x + 10}\). \[f'(x) = \frac{-4x^2 + 20x - x^2}{\sqrt{-2x + 10}} = \frac{-5x^2 + 20x}{\sqrt{-2x + 10}}\] כינוס איברים דומים במונה לנגזרת סופית ומסודרת. נשווה את המונה לאפס למציאת נקודות חשודות לקיצון: \[-5x^2 + 20x = 0 \implies -5x(x - 4) = 0\] הוצאת גורם משותף. \[x_1 = 0 , \quad x_2 = 4\] הנקודות החשודות (שתיהן בתחום ההגדרה). בנוסף לנקודת הקצה \(x=5\). נבנה טבלת ערכים לבדיקת סוג הקיצון (עבור \(x \le 5\)): עבור \(x < 0\): הנגזרת שלילית, הפונקציה יורדת (\(\searrow\)). עבור \(x = 0\): הנגזרת מתאפסת, מינימום. עבור \(0 < x < 4\): הנגזרת חיובית, הפונקציה עולה (\(\nearrow\)). עבור \(x = 4\): הנגזרת מתאפסת, מקסימום. עבור \(4 < x < 5\): הנגזרת שלילית, הפונקציה יורדת (\(\searrow\)). עבור \(x = 5\): הנגזרת לא מוגדרת, מינימום (קצה). נחשב את ערכי ה-\(y\) (ונעגל ל-2 ספרות אחרי הנקודה כנדרש): - עבור \(x = 0\): \(f(0) = 0\) \(\implies\) \((0, 0)\) מינימום פנימי. - עבור \(x = 4\): \(f(4) = 4^2 \cdot \sqrt{-2(4) + 10} = 16\sqrt{2} \approx 22.63\) \(\implies\) \((4, 22.63)\) מקסימום פנימי. - עבור \(x = 5\): \(f(5) = 0\) \(\implies\) \((5, 0)\) מינימום קצה.
מושגים: נקודות קיצון וקצה תחום
על סמך הנתונים: הפונקציה מגיעה מאינסוף, יורדת לראשית הצירים \((0,0)\), משם היא עולה עד לנקודת המקסימום ב-\((4, 22.63)\), ויורדת בתלילות אל עבר נקודת הקצה שלה על ציר ה-\(x\) ב-\((5,0)\). ראו את הסקיצה המדויקת בחלק של התשובות הסופיות למעלה.
מושגים: חקירת פונקציית שורש
נתונה פונקציה חדשה שהיא בעצם הפונקציה \(f(x)\) מופחתת בקבוע \(c\) חיובי. המשמעות הגרפית היא הזזה אנכית של הגרף כלפי מטה ב-\(c\) יחידות. שיעורי ה-\(x\) של נקודות הקיצון לא משתנים, רק שיעורי ה-\(y\) קטנים ב-\(c\). נקודת המקסימום של \(g(x)\) תהיה \((4, 16\sqrt{2} - c)\). שיעור ה-y המקורי היה \(16\sqrt{2}\). נתון כי גרף הפונקציה משיק לישר האופקי \(y = 20\). ההשקה לישר אופקי מתרחשת בנקודת הקיצון. כיוון שהישר חיובי (\(y=20\)) והמינימום של \(f(x)\) הוא 0, רק נקודת המקסימום יכולה להשיק לו לאחר הזזה מטה. \[16\sqrt{2} - c = 20\] נשווה את ערך ה-y של המקסימום החדש לערך המשיק 20. \[c = 16\sqrt{2} - 20\] בידוד \(c\). \[c \approx 22.627 - 20 = 2.627 \approx 2.63\] עיגול לשתי ספרות אחרי הנקודה כנדרש. תשובה סופית: \(c \approx 2.63\).
מושגים: הזזות אנכיות ומשיק אופקי
התשובות הסופיות: א. תחום הגדרה: \(x \le 5\). ב. חיתוך עם הצירים: \((0, 0)\), \((5, 0)\). ג. נקודות קיצון: \((0, 0)\) מינימום, \((4, 22.63)\) מקסימום, \((5, 0)\) מינימום קצה. ד. סקיצה של גרף הפונקציה \(f(x)\): ה. \(c \approx 2.63\) (או במדויק: \(c = 16\sqrt{2} - 20\)).
נתונה הפונקציה f(x)=x2⋅−2x+10 (בתשובות שאינן מדויקות, השאירו שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית). א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים. ג. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן. ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x). ה. נתונה הפונקציה g(x)=f(x)−c, c הוא פרמטר חיובי. הפונקציות f(x) ו-g(x) מוגדרות באותו התחום. גרף הפונקציה g(x) משיק לישר y=20. מצאו את הערך של c.
