נתונה הפונקציה: \[f(x) = \sqrt{-2x^4 + 16x^2 + 18}\] שתחום הגדרתה הוא \(-3 \le x \le 3\). א. (1) מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה \(f(x)\), וקבע את סוגן. (תוכל להשאיר שורש בתשובתך). (2) מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה \(f(x)\). ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה \(f(x)\). ג. כמה נקודות חיתוך יש לישר \(y = 5\) עם גרף הפונקציה \(f(x)\)? נמק. ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה \(-f(x)\).
הטיפ של עובד: שימו לב שהפונקציה מורכבת רק מחזקות זוגיות של \(x\)! זה אומר שהפונקציה היא פונקציה זוגית, והגרף שלה סימטרי לחלוטין ביחס לציר ה-\(y\). ההבחנה הזו חוסכת המון עבודה – אם מצאתם נקודת מקסימום בצד ימין, תדעו מיד שיש אחת זהה בדיוק בצד שמאל. לגבי סעיף ג', שרטוט טוב הוא המפתח: העבירו בעיני רוחכם קו אופקי בגובה \(y=5\) ובדקו כמה פעמים הוא חותך את ההרים והעמקים של הפונקציה ביחס לנקודות הקיצון שמצאתם.
כדי למצוא את נקודות הקיצון הפנימיות, נגזור את הפונקציה ונשווה לאפס. נשתמש בכלל הגזירה של פונקציית שורש מורכבת: \((\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}\). \[f'(x) = \frac{-8x^3 + 32x}{2\sqrt{-2x^4 + 16x^2 + 18}}\] גזירת הביטוי הפנימי (פולינום ממעלה 4) חלקי פעמיים השורש. \[f'(x) = \frac{-4x^3 + 16x}{\sqrt{-2x^4 + 16x^2 + 18}}\] צמצום המונה והמכנה ב-2 לנוחות החישוב. \[-4x^3 + 16x = 0 \implies -4x(x^2 - 4) = 0\] השוואת המונה לאפס והוצאת גורם משותף. \(x_1 = 0\) \(x_2 = 2\) , \(x_3 = -2\) כל הנקודות נמצאות בתחום ההגדרה הנתון \([-3, 3]\). לכן כולן חשודות כקיצון פנימי. נבדוק אותן יחד עם קצות התחום (\(x = \pm 3\)). נבנה טבלת ערכים לבדיקת סוג הקיצון ותחומי עלייה/ירידה. (נציב ערכים במונה הנגזרת שכן המכנה תמיד חיובי בתחום ההגדרה): - עבור \(x = -3\): קצה, מינימום. - עבור \(-3 < x < -2\): הנגזרת חיובית, הפונקציה עולה (\(\nearrow\)). - עבור \(x = -2\): הנגזרת מתאפסת, מקסימום. - עבור \(-2 < x < 0\): הנגזרת שלילית, הפונקציה יורדת (\(\searrow\)). - עבור \(x = 0\): הנגזרת מתאפסת, מינימום. - עבור \(0 < x < 2\): הנגזרת חיובית, הפונקציה עולה (\(\nearrow\)). - עבור \(x = 2\): הנגזרת מתאפסת, מקסימום. - עבור \(2 < x < 3\): הנגזרת שלילית, הפונקציה יורדת (\(\searrow\)). - עבור \(x = 3\): קצה, מינימום. נחשב את ערכי ה-\(y\) בפונקציה המקורית: \(f(0) = \sqrt{0 + 0 + 18} = \sqrt{18}\) מכאן ש-\((0, \sqrt{18})\) מינימום פנימי. \(f(\pm 2) = \sqrt{-2(16) + 16(4) + 18} = \sqrt{-32 + 64 + 18} = \sqrt{50}\) מכאן ש-\((2, \sqrt{50})\) ו-\((-2, \sqrt{50})\) מקסימום פנימי. \(f(\pm 3) = \sqrt{-2(81) + 16(9) + 18} = \sqrt{-162 + 144 + 18} = 0\) מכאן ש-\((3, 0)\) ו-\((-3, 0)\) מינימום קצה.
מושגים: פונקציה זוגית וסימטריה
על פי הטבלה שבנינו בסעיף הקודם, ניתן לראות בבירור את התנהגות הפונקציה: תחומי עלייה: \(-3 < x < -2\) או \(0 < x < 2\) (הנגזרת חיובית). תחומי ירידה: \(-2 < x < 0\) או \(2 < x < 3\) (הנגזרת שלילית).
מושגים: פונקציה זוגית וסימטריה
לפי הנקודות שמצאנו, הפונקציה מתחילה על ציר ה-\(x\) בנקודה \((-3,0)\), עולה למקסימום המקומי ב-\((-2, \sqrt{50})\), יורדת למינימום המקומי ב-\((0, \sqrt{18})\), עולה חזרה למקסימום המקומי ב-\((2, \sqrt{50})\) ולבסוף יורדת עד לנקודת הקצה על ציר ה-\(x\) ב-\((3,0)\). צורתה מזכירה את האות M. (ראו סרטוט מדויק בפתרונות הסופיים).
מושגים: פונקציה זוגית וסימטריה
כדי לקבוע כמה פעמים ישר אופקי (\(y=k\)) חותך את הגרף, נשווה את גובה הישר לערכי ה-\(y\) של נקודות הקיצון. הישר נמצא בגובה \(y=5\). נעריך את ערכי הקיצון: \(\sqrt{18} \approx 4.24\) ו-\(\sqrt{50} \approx 7.07\). הגובה \(y=5\) נמצא מעל המינימום המקומי (\(4.24\)) ומתחת למקסימום המקומי (\(7.07\)). כלומר: \(\sqrt{18} < 5 < \sqrt{50}\). לכן, הישר יחתוך כל אחת מזרועות ה-M של הפונקציה. הוא יחתוך פעם אחת בעלייה מ-0 ל-\(\sqrt{50}\), פעם אחת בירידה ל-\(\sqrt{18}\), פעם בעלייה חזרה ל-\(\sqrt{50}\), ופעם אחרונה בירידה ל-0. מסקנה: הישר חותך את גרף הפונקציה בדיוק 4 פעמים.
מושגים: חיתוך עם ישר אופקי
הטרנספורמציה \(-f(x)\) הופכת את הסימן של כל ערכי ה-\(y\) בפונקציה המקורית. המשמעות הגרפית היא שיקוף מלא של הגרף סביב ציר ה-\(x\). נקודות החיתוך והקצה שעל הציר \((-3,0)\) ו-\((3,0)\) נשארות במקומן. נקודות המקסימום יהפכו למינימום: \((-2, -\sqrt{50})\) ו-\((2, -\sqrt{50})\). נקודת המינימום המקומית תהפוך למקסימום מקומית: \((0, -\sqrt{18})\). צורת ה-M תתהפך ותיראה כמו האות W מתחת לציר ה-\(x\). (ראו סרטוט בפתרונות הסופיים).
מושגים: טרנספורמציה של פונקציה
התשובות הסופיות: א. (1) פנימיות: \((0, \sqrt{18})\) מינימום, \((2, \sqrt{50})\) מקסימום, \((-2, \sqrt{50})\) מקסימום. קצוות: \((3, 0)\) מינימום קצה, \((-3, 0)\) מינימום קצה. (2) תחומי עלייה: \(-3 < x < -2\) או \(0 < x < 2\). תחומי ירידה: \(-2 < x < 0\) או \(2 < x < 3\). ב. + ד. סקיצות של הפונקציה והשיקוף שלה: סקיצה של \(f(x)\): סקיצה של \(-f(x)\): ג. לישר \(y = 5\) יש בדיוק 4 נקודות חיתוך עם גרף הפונקציה (מכיוון שהערך 5 נמצא בין נקודת המינימום המקומית \(\sqrt{18} \approx 4.24\) לבין נקודות המקסימום המקומיות \(\sqrt{50} \approx 7.07\)).
נתונה הפונקציה: f(x)=−2x4+16x2+18 שתחום הגדרתה הוא −3≤x≤3. א. (1) מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגן. (תוכל להשאיר שורש בתשובתך). (2) מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x). ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x). ג. כמה נקודות חיתוך יש לישר y=5 עם גרף הפונקציה f(x)? נמק. ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה −f(x).
