בסרטוט שלפניך מתואר גרף פונקציית הנגזרת \( f'(x) \) של הפונקציה \( f(x) = \sqrt{-x^2 + bx + 16} \). \( b \) פרמטר. ענה על הסעיפים שלפניך (אפשר להיעזר בגרף הנגזרת במידת הצורך): א. (1) מהו שיעור ה-\( x \) של נקודת הקיצון הפנימית של \( f(x) \)? נמק. (2) מצא את \( b \). ב. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה \( f(x) \). ג. מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה \( f(x) \) וקבע את סוגן. ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה \( f(x) \).
הטיפ של עובד: כאשר נתון לנו גרף הנגזרת, המפתח להבנת הפונקציה המקורית נמצא בנקודות החיתוך עם ציר ה-\( x \). התאפסות של הנגזרת ומעבר מאזור חיובי (מעל הציר) לאזור שלילי (מתחת לציר) מצביעה בוודאות על נקודת מקסימום. בנוסף, שימו לב לאסימפטוטות האנכיות של הנגזרת - בפונקציות שורש, אלו בדיוק קצוות תחום ההגדרה, הנקודות בהן הביטוי בתוך השורש מתאפס והמשיק הופך לאנכי!
כדי למצוא את שיעור ה-\( x \) של נקודת הקיצון הפנימית של הפונקציה \( f(x) \), נבחן את הגרף של פונקציית הנגזרת \( f'(x) \). נקודת קיצון פנימית מתקבלת כאשר הנגזרת מתאפסת (חותכת את ציר ה-\( x \)) ומשנה סימן. מתוך התבוננות בגרף הנתון, ניתן לראות כי פונקציית הנגזרת חותכת את ציר ה-\( x \) בנקודה \( x = 3 \). לפני נקודה זו (עבור \( x < 3 \)), הגרף נמצא מעל ציר ה-\( x \), כלומר הנגזרת חיובית והפונקציה עולה. לאחר נקודה זו (עבור \( x > 3 \)), הגרף נמצא מתחת לציר ה-\( x \), כלומר הנגזרת שלילית והפונקציה יורדת. מעבר מעלייה לירידה מעיד על נקודת מקסימום. תשובה סופית לא'(1): \( x = 3 \).
מושגים: קריאת תכונות הפונקציה מתוך גרף הנגזרת
מכיוון שמצאנו כי ב-\( x = 3 \) ישנה נקודת קיצון פנימית, אנו יודעים כי הנגזרת מתאפסת בנקודה זו: \( f'(3) = 0 \). נגזור את הפונקציה \( f(x) = \sqrt{-x^2 + bx + 16} \) בעזרת כלל הנגזרת של פונקציית שורש מורכבת: \[ f'(x) = \frac{-2x + b}{2\sqrt{-x^2 + bx + 16}} \] כעת, נשווה את המונה לאפס (שכן שבר מתאפס כאשר המונה שלו שווה לאפס) ונציב \( x = 3 \): \[ -2(3) + b = 0 \] \[ -6 + b = 0 \] \[ b = 6 \] תשובה סופית לא'(2): \( b = 6 \). הפונקציה שלנו היא כעת: \( f(x) = \sqrt{-x^2 + 6x + 16} \).
מושגים: קריאת תכונות הפונקציה מתוך גרף הנגזרת
כדי למצוא את תחום ההגדרה של פונקציית שורש זוגי, נדרוש שהביטוי בתוך השורש יהיה אי-שלילי (גדול או שווה לאפס): \[ -x^2 + 6x + 16 \ge 0 \] נמצא תחילה את שורשי המשוואה הריבועית (נקודות ההתאפסות): \[ -x^2 + 6x + 16 = 0 \] \[ x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (-1) \cdot 16}}{-2} \] \[ x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 64}}{-2} = \frac{-6 \pm 10}{-2} \] מכאן נקבל שני פתרונות: \( x_1 = \frac{4}{-2} = -2 \) ו- \( x_2 = \frac{-16}{-2} = 8 \). הגרף של הפרבולה \( y = -x^2 + 6x + 16 \) הוא פרבולה "הפוכה" (בוכה), ולכן היא תהיה חיובית (מעל ציר ה-\( x \)) בין שני השורשים שלה. לכן, תחום ההגדרה הוא: תשובה סופית לב': \( -2 \le x \le 8 \).
מושגים: תחום הגדרה של פונקציית שורש ומשמעותו בנגזרת
נחשב את ערכי הפונקציה (\( y \)) בנקודת הקיצון הפנימית שמצאנו, ובקצות תחום ההגדרה. קיצון פנימי (\( x = 3 \)): \[ f(3) = \sqrt{-3^2 + 6(3) + 16} = \sqrt{-9 + 18 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] זוהי נקודת מקסימום פנימית, כפי שקבענו בסעיף א': \( (3, 5) \). קצות התחום (\( x = -2 \) ו- \( x = 8 \)): היות ואלו הערכים שמאפסים את הביטוי בתוך השורש, ערך הפונקציה בהם הוא אפס. \[ f(-2) = 0 \] \[ f(8) = 0 \] מכיוון שערך הפונקציה (שהיא פונקציית שורש) לא יכול להיות שלילי, ונקודות אלו מקבלות את הערך \( y = 0 \), הן בהכרח נקודות מינימום. בנוסף, המקסימום ב- \( x = 3 \) הוא מקסימום מוחלט בתחום סגור זה. תשובה סופית לג': מקסימום \( (3, 5) \), מינימום קצה \( (-2, 0) \), מינימום קצה \( (8, 0) \).
מושגים: נקודות קיצון בקצות התחום
נשרטט את הגרף בתחום \( [-2, 8] \). הגרף מתחיל בנקודה \( (-2, 0) \), עולה עד לנקודת המקסימום ב- \( (3, 5) \), ויורד חזרה עד לנקודה \( (8, 0) \). למעשה, אם נעלה את המשוואה בריבוע נקבל \( y^2 = -x^2 + 6x + 16 \), שזו משוואה של מעגל (או חצי מעגל במקרה שלנו בו \( y \ge 0 \)).
התשובות הסופיות: א. (1): \( x = 3 \) (נקודת מקסימום) א. (2): \( b = 6 \) ב.: \( -2 \le x \le 8 \) ג.: מקסימום פנימי: \( (3, 5) \), מינימום קצה: \( (-2, 0) \), מינימום קצה: \( (8, 0) \) ד.: סקיצה של גרף הפונקציה \( f(x) \):
בסרטוט שלפניך מתואר גרף פונקציית הנגזרת f′(x) של הפונקציה f(x)=−x2+bx+16. b פרמטר. ענה על הסעיפים שלפניך (אפשר להיעזר בגרף הנגזרת במידת הצורך): א. (1) מהו שיעור ה-x של נקודת הקיצון הפנימית של f(x)? נמק. (2) מצא את b. ב. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). ג. מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) וקבע את סוגן. ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
