אנליזה · זיהוי גרף נגזרת וחקירת פונקציות שורש (5 יח"ל)

השאלה

לפניך סרטוטים של שני גרפים, I ו- II. כל אחד מן הגרפים מתאר גרף נגזרת של פונקציה אחרת. גרף I אינו חותך את הצירים כלל; נקודת החיתוך היחידה של גרף II עם הצירים היא הנקודה $(0,0)$. לכל אחד משני הגרפים יש אסימפטוטות אנכיות שמשוואותיהן הן $x = 2$ , $x = -2$. גרף II גרף I א. הסתמך על הגרפים I ו- II ובעבור כל אחד מהם מצא מה הם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה שאת הנגזרת שלה הוא מתאר. נתונות שתי פונקציות: $g(x) = \sqrt{x^2 - 4}$ , $f(x) = \sqrt{4 - x^2}$. כל אחד מן הגרפים I ו- II מתאר את פונקציית הנגזרת של אחת מן הפונקציות האלה. ב. (1) מצא את תחום ההגדרה של כל אחת מן הפונקציות $f(x)$ ו- $g(x)$. (2) התאם בין פונקציית הנגזרת $f'(x)$ ו- $g'(x)$ ובין הגרפים I ו- II. נמק. ענה על סעיף ג בעבור כל אחת מן הפונקציות $f(x)$ ו- $g(x)$. ג. (1) מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. (2) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.

הטיפ של עובד

הטיפ של עובד: כשמבקשים מכם להתאים בין פונקציה לבין הגרף של הנגזרת שלה, הדבר הראשון והחזק ביותר שצריך לבדוק הוא תחום ההגדרה! נגזרת מתקיימת (כמעט תמיד) באותו התחום של הפונקציה המקורית (למעט קצוות שבהם היא לא גזירה). ברגע שתמצאו את תחומי ההגדרה של שתי הפונקציות, ההתאמה לגרפים תהיה ברורה ומיידית, עוד לפני שגזרתם!

פתרון מודרך, צעד אחר צעד

שלב 1: סעיף א': מציאת תחומי עלייה וירידה לפי גרף הנגזרת

כלל הברזל: כאשר הנגזרת חיובית ($y>0$) הפונקציה עולה. כאשר הנגזרת שלילית ($y<0$) הפונקציה יורדת. עבור גרף I: בתחום $x > 2$: הגרף מעל ציר ה-$x$, כלומר הנגזרת חיובית. מכאן שהפונקציה עולה בתחום זה. בתחום $x < -2$: הגרף מתחת לציר ה-$x$, כלומר הנגזרת שלילית. מכאן שהפונקציה יורדת בתחום זה. עבור גרף II: בתחום $-2 < x < 0$: הגרף מעל ציר ה-$x$, כלומר הנגזרת חיובית. מכאן שהפונקציה עולה בתחום זה. בתחום $0 < x < 2$: הגרף מתחת לציר ה-$x$, כלומר הנגזרת שלילית. מכאן שהפונקציה יורדת בתחום זה.

מושגים: קשר נגזרת-פונקציה

שלב 2: סעיף ב': תחומי הגדרה והתאמת הגרפים

(1) תחומי הגדרה: דרישת שורש ריבועי היא שהביטוי בתוך השורש יהיה אי-שלילי. עבור הפונקציה $f(x) = \sqrt{4 - x^2}$: נדרוש $4 - x^2 \ge 0$. זו פרבולה "בוכה" שחותכת את הצירים ב-$\pm 2$. התחום בו היא אי-שלילית הוא $-2 \le x \le 2$. עבור הפונקציה $g(x) = \sqrt{x^2 - 4}$: נדרוש $x^2 - 4 \ge 0$. זו פרבולה "צוחקת" שחותכת ב-$\pm 2$. התחום בו היא אי-שלילית הוא הקצוות: $x \le -2$ או $x \ge 2$. (2) התאמת הגרפים: גרף II קיים אך ורק בתחום הפנימי שבין האסימפטוטות: $-2 < x < 2$. תחום זה תואם (למעט קצוות האי-גזירות) לתחום ההגדרה של $f(x)$. לכן גרף II מתאר את $f'(x)$. גרף I קיים אך ורק בתחום החיצוני: $x > 2$ ו- $x < -2$. תחום זה תואם לתחום ההגדרה של $g(x)$. לכן גרף I מתאר את $g'(x)$.

מושגים: תחום הגדרה ככלי זיהוי

שלב 3: סעיף ג': חיתוך עם הצירים וסקיצות

עבור הפונקציה $f(x) = \sqrt{4 - x^2}$: חיתוך עם ציר $y$ ($x=0$): $f(0) = \sqrt{4 - 0^2} = \sqrt{4} = 2$. נקודת חיתוך: $(0, 2)$. חיתוך עם ציר $x$ ($y=0$): $0 = \sqrt{4 - x^2} \implies 4 - x^2 = 0 \implies x = \pm 2$. נקודות חיתוך: $(2, 0) , (-2, 0)$. (זוהי משוואה של חצי מעגל עליון שרדיוסו 2). עבור הפונקציה $g(x) = \sqrt{x^2 - 4}$: חיתוך עם ציר $y$ ($x=0$): נציב ונקבל $\sqrt{-4}$. אין פתרון ממשי, הנקודה לא בתחום ההגדרה. אין חיתוך עם ציר ה-$y$. חיתוך עם ציר $x$ ($y=0$): $0 = \sqrt{x^2 - 4} \implies x^2 - 4 = 0 \implies x = \pm 2$. נקודות חיתוך: $(2, 0) , (-2, 0)$. התנהגות הפונקציה $g(x)$: כפי שהוכחנו מסעיף א' דרך גרף I: עבור $x > 2$ הפונקציה עולה (מתחילה מהחיתוך $x=2$ ועולה לאינסוף). עבור $x < -2$ הפונקציה יורדת (מגיעה מאינסוף אל החיתוך ב-$x=-2$). הסקיצות המדויקות מופיעות בסעיף התשובות הסופיות למעלה.

מושגים: חקירת פונקציות שורש ותבניות גרפיות

תשובות סופיות

התשובות הסופיות: א. לפונקציה של גרף I: תחומי עלייה: $x > 2$. תחומי ירידה: $x < -2$. לפונקציה של גרף II: תחומי עלייה: $-2 < x < 0$. תחומי ירידה: $0 < x < 2$. ב. (1) תחום ההגדרה של $f(x)$ הוא: $-2 \le x \le 2$. תחום ההגדרה של $g(x)$ הוא: $x \le -2$ או $x \ge 2$. (2) גרף II מתאים לנגזרת $f'(x)$. גרף I מתאים לנגזרת $g'(x)$. ג. (1) נקודות החיתוך של $f(x)$: $(2, 0), (-2, 0), (0, 2)$. נקודות החיתוך של $g(x)$: $(2, 0), (-2, 0)$. (2) סקיצות של הפונקציות: סקיצה של $f(x)$: סקיצה של $g(x)$:

חזרה לקטלוג

#172אנליזה

זיהוי גרף נגזרת וחקירת פונקציות שורש (5 יח"ל)

קראו את השאלה

שאלה

לפניך סרטוטים של שני גרפים, I ו- II. כל אחד מן הגרפים מתאר גרף נגזרת של פונקציה אחרת. גרף I אינו חותך את הצירים כלל; נקודת החיתוך היחידה של גרף II עם הצירים היא הנקודה $(0,0)$ . לכל אחד משני הגרפים יש אסימפטוטות אנכיות שמשוואותיהן הן $x = 2$ , $x = -2$ .

גרף II

גרף I א. הסתמך על הגרפים I ו- II ובעבור כל אחד מהם מצא מה הם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה שאת הנגזרת שלה הוא מתאר. נתונות שתי פונקציות: $g(x) = \sqrt{x^2 - 4}$ , $f(x) = \sqrt{4 - x^2}$ . כל אחד מן הגרפים I ו- II מתאר את פונקציית הנגזרת של אחת מן הפונקציות האלה. ב. (1) מצא את תחום ההגדרה של כל אחת מן הפונקציות $f(x)$ ו- $g(x)$ . (2) התאם בין פונקציית הנגזרת $f'(x)$ ו- $g'(x)$ ובין הגרפים I ו- II. נמק. ענה על סעיף ג בעבור כל אחת מן הפונקציות $f(x)$ ו- $g(x)$ . ג. (1) מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. (2) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.