אלגברה · מערכת משוואות

שלב 1: תחום הצבה

מכיוון שהמשתנים \( x \) ו- \( y \) מופיעים במכנים, עלינו לדרוש שתחום ההצבה יהיה: \( x \neq 0 \quad \text{וגם} \quad y \neq 0 \)

מושגים: תחום הצבה (הגדרה)

שלב 2: חשיפת תבנית משותפת

ניקח את שתי המשוואות ונכפיל אותן במכנים שלהן כדי להיפטר מהשברים: משוואה I: נכפיל ב- \( y \) \( x \cdot y + \frac{1}{y} \cdot y = 1 \cdot y \) \( xy + 1 = y \) משוואה II: נכפיל ב- \( x \) \( y \cdot x + \frac{1}{x} \cdot x = -\frac{1}{2} \cdot x \) \( xy + 1 = -0.5x \)

מושגים: זיהוי תבניות משותפות

שלב 3: השוואת המשוואות

שימו לב שבאגף שמאל של שתי המשוואות קיבלנו בדיוק את אותו הביטוי: \( xy + 1 \)! נוכל פשוט להשוות את אגפי ימין שלהן: \( y = -0.5x \) בבת אחת, קיבלנו קשר ישיר ופשוט מאוד בין \( y \) ל- \( x \).

שלב 4: הצבה ופתרון משוואה ריבועית

עכשיו נציב את הקשר שמצאנו (\( y = -0.5x \)) אל תוך אחת המשוואות המקוריות. נבחר במשוואה הראשונה: \( x + \frac{1}{y} = 1 \) נציב \( y = -0.5x \): \( x + \frac{1}{-0.5x} = 1 \) הביטוי \( \frac{1}{-0.5} \) שווה ל-\( -2 \), ולכן המשוואה היא: \( x - \frac{2}{x} = 1 \) נכפיל את כל המשוואה ב- \( x \) כדי להיפטר מהמכנה: \( x^2 - 2 = x \) \( x^2 - x - 2 = 0 \) נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת טרינום: \( (x - 2)(x + 1) = 0 \) מכאן נקבל שני פתרונות עבור \( x \): \( x_1 = 2 \) \( x_2 = -1 \) (שני הפתרונות שונים מאפס ולכן עומדים בתחום ההצבה).

מושגים: משוואה ריבועית

שלב 5: מציאת ערכי y המתאימים

כעת נציב את ערכי ה-\( x \) שמצאנו אל תוך הקשר הפשוט \( y = -0.5x \) כדי למצוא את ה-\( y \): עבור \( x_1 = 2 \): \( y_1 = -0.5 \cdot 2 = -1 \) עבור \( x_2 = -1 \): \( y_2 = -0.5 \cdot (-1) = 0.5 \) הפתרונות הם: \( (2, -1) \) ו- \( (-1, 0.5) \).