חזרה לקטלוג
#114אלגברה
משוואות בעזרת הצבהקראו את השאלה
שאלה
פתרו את המשוואה הבאה:
אלגברה · משוואות בעזרת הצבה
השאלה
פתרו את המשוואה הבאה: (x^2 - 6x)^2 + 2(x - 3)^2 = 81
הטיפ של עובד
במבט ראשון זו נראית כמו משוואה מפלצתית ממעלה רביעית... אבל רגע, נסו לפתוח את הסוגריים של (x - 3)^2 באמצעות נוסחת כפל מקוצר. תקבלו x^2 - 6x + 9. שימו לב שהביטוי x^2 - 6x פתאום מופיע פעמיים! במצבים כאלו, אין טעם לפתוח את כל הסוגריים - אלא להשתמש ב"משתנה עזר" (למשל t) שיחליף את הביטוי החוזר. ברגע שתציבו, המשוואה תהפוך למשוואה ריבועית פשוטה וקלילה!
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: שלב 1 - פתיחת סוגריים חלקית וזיהוי התבנית
המשוואה הנתונה היא: (x^2 - 6x)^2 + 2(x - 3)^2 = 81 אם נפתח את כל הסוגריים נגיע למשוואה ממעלה 4 מסובכת. במקום זאת, נתמקד רק בסוגריים הקטנים ונפתח אותם בעזרת נוסחת הכפל המקוצר (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2: (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9 נציב זאת חזרה אל תוך המשוואה המקורית: (x^2 - 6x)^2 + 2(x^2 - 6x + 9) = 81 עכשיו אפשר לראות בבירור שהביטוי x^2 - 6x מופיע פעמיים!
מושגים: זיהוי תבניות חוזרות
שלב 2: שלב 2 - שימוש במשתנה עזר (t)
כדי לפשט את המשוואה, נגדיר משתנה עזר חדש שיחליף את הביטוי החוזר: t = x^2 - 6x נציב את t במקום x^2 - 6x במשוואה שקיבלנו בשלב הקודם: t^2 + 2(t + 9) = 81 קיבלנו משוואה ריבועית פשוטה! נפתח סוגריים ונסדר אותה: t^2 + 2t + 18 - 81 = 0 \implies t^2 + 2t - 63 = 0
מושגים: הורדת מעלה באמצעות הצבה
שלב 3: שלב 3 - פתרון המשוואה הריבועית של t
נפתור את המשוואה t^2 + 2t - 63 = 0 באמצעות נוסחת השורשים (כאשר a=1, b=2, c=-63): t_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-63)}}{2 \cdot 1} t_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 252}}{2} = \frac{-2 \pm 16}{2} נפצל לשני פתרונות אפשריים עבור t: t_1 = \frac{-2 + 16}{2} = 7 t_2 = \frac{-2 - 16}{2} = -9
מושגים: משוואה ריבועית
שלב 4: שלב 4 - חזרה למשתנה המקורי (x) וסיום
זכרו, מטרתנו היא למצוא את x, לא את t. נחזור להצבה שלנו t = x^2 - 6x, ונבדוק כל אחד מהמקרים שמצאנו. מקרה 1: כאשר t = 7 x^2 - 6x = 7 \implies x^2 - 6x - 7 = 0 נפתור בעזרת טרינום או נוסחת שורשים: (x - 7)(x + 1) = 0 מכאן מתקבלים שני פתרונות: x = 7, x = -1. מקרה 2: כאשר t = -9 x^2 - 6x = -9 \implies x^2 - 6x + 9 = 0 ניתן לזהות כאן נוסחת כפל מקוצר (או להשתמש בנוסחת שורשים ולקבל פתרון יחיד): (x - 3)^2 = 0 מכאן מתקבל פתרון נוסף: x = 3. סיכום הפתרונות: x = 7, x = -1, x = 3.
מושגים: פיצול מקרים ובדיקת פתרונות
תשובות סופיות
התשובות הסופיות: למשוואה זו יש שלושה פתרונות: x = 7, \quad x = -1, \quad x = 3