חזרה לקטלוג
#131אלגברה
משוואות אלגבריותקראו את השאלה
שאלה
פתרו את המשוואה הבאה:
אלגברה · משוואות אלגבריות
השאלה
פתרו את המשוואה הבאה: \( \frac{3^2 \cdot 5}{x^2 + 3x + \frac{9}{4}} + 4 = (x + 1.5)^2 \)
הטיפ של עובד
אל תרוצו לעשות מכנה משותף של פולינומים! במבט ראשון, המשוואה נראית מאיימת מאוד, אבל מתמטיקה היא שפה של תבניות. הסתכלו היטב על המכנה: \( x^2 + 3x + 2.25 \). עכשיו הסתכלו על האגף הימני: \( (x + 1.5)^2 \). אם תפתחו את אגף ימין לפי נוסחת כפל מקוצר, תגלו שזה בדיוק אותו הביטוי! מדובר פה באותה תבנית שחוזרת על עצמה פעמיים. סמנו את התבנית הזו באות t, והמשוואה המפלצתית תהפוך למשוואה ריבועית קלילה. שימו לב שעזר נוסף הוא ש- t = (משהו)^2, מה שאומר ש- t חייב להיות חיובי, מה שיעזור לנו לפסול פתרונות שקר בסוף!
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: פישוט מספרים וזיהוי התבנית
המשוואה הנתונה היא: \( \frac{45}{x^2 + 3x + 2.25} + 4 = (x + 1.5)^2 \). נפתח את האגף הימני לפי נוסחת כפל מקוצר: \( (x + 1.5)^2 = x^2 + 3x + 2.25 \). מכאן נובע שהמשוואה היא: \( \frac{45}{(x + 1.5)^2} + 4 = (x + 1.5)^2 \). (תחום הצבה: \( x \neq -1.5 \)).
מושגים: זיהוי נוסחאות כפל מקוצר
שלב 2: שימוש במשתנה עזר (t)
נסמן: \( t = (x + 1.5)^2 \). נציב במשוואה: \( \frac{45}{t} + 4 = t \). נכפול ב-t (כאשר \( t \neq 0 \)) ונקבל \( 45 + 4t = t^2 \). נסדר למשוואה ריבועית: \( t^2 - 4t - 45 = 0 \).
מושגים: הצבת משתנה עזר (t)
שלב 3: פתרון המשוואה הריבועית ופסילת תשובות
נפרק לטרינום: \( (t - 9)(t + 5) = 0 \). מכאן \( t_1 = 9 \) או \( t_2 = -5 \). מאחר ו- \( t = (x + 1.5)^2 \) וביטוי בריבוע אינו יכול להיות שלילי, נפסול את \( t = -5 \).
מושגים: סינון פתרונות לפי היגיון אלגברי
שלב 4: חזרה למשתנה המקורי x
נפתור עבור \( t = 9 \): \( (x + 1.5)^2 = 9 \). נוציא שורש: \( x + 1.5 = 3 \) או \( x + 1.5 = -3 \). הפתרונות הם \( x = 1.5 \) ו- \( x = -4.5 \).
מושגים: פתרון משוואה ריבועית
תשובה סופית
התשובה הסופית: \( x = 1.5, x = -4.5 \)