אלגברה · משוואות עם שברים

שלב 1: פירוק המכנים לגורמים

כדי למצוא מכנה משותף פשוט, נפרק קודם כל מכנה לגורמים. המכנה הראשון: נשתמש בנוסחת הפרש ריבועים. \( x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) \) המכנה השני: נוציא גורם משותף \( x^2 \). \( x^4 - 4x^2 = x^2(x^2 - 4) \) נכתוב את המשוואה מחדש עם המכנים המפורקים: \( \frac{x^2 - 6}{(x^2 - 4)(x^2 + 4)} + \frac{1}{x^2(x^2 - 4)} = 0 \)

מושגים: פירוק לגורמים

שלב 2: תחום הצבה

לפני שממשיכים, חובה לדרוש ששום מכנה לא יתאפס. נסתכל על כל הגורמים שבמכנים: 1. \( x^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 0 \) 2. \( x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq 4 \Rightarrow x \neq 2, \ x \neq -2 \) 3. \( x^2 + 4 \neq 0 \) (תנאי זה מתקיים תמיד, כיוון שמספר בריבוע תמיד חיובי). תחום ההצבה שלנו הוא: \( x \neq 0, \ x \neq 2, \ x \neq -2 \).

מושגים: תחום הצבה (הגדרה)

שלב 3: מכנה משותף ובניית המשוואה

המכנה המשותף יהיה המכפלה של כל הגורמים הייחודיים: \( x^2(x^2 - 4)(x^2 + 4) \) נרחיב כל שבר במה שחסר לו מהמכנה המשותף: את השבר הראשון נכפיל ב- \( x^2 \) את השבר השני נכפיל ב- \( (x^2 + 4) \) המשוואה החדשה של המונים תהיה: \( x^2(x^2 - 6) + 1(x^2 + 4) = 0 \) נפתח סוגריים ונסדר: \( x^4 - 6x^2 + x^2 + 4 = 0 \) \( x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \)

מושגים: מכנה משותף מינימלי

שלב 4: פתרון המשוואה הדו-ריבועית

קיבלנו משוואה דו-ריבועית. נפתור אותה בעזרת הצבת משתנה עזר: \( t = x^2 \) המשוואה הופכת למשוואה ריבועית פשוטה ב-\( t \): \( t^2 - 5t + 4 = 0 \) נפתור בעזרת טרינום: \( (t - 1)(t - 4) = 0 \) נקבל שני פתרונות עבור \( t \): \( t_1 = 1 \) \( t_2 = 4 \)

מושגים: משוואה דו-ריבועית

שלב 5: חזרה ל-x ופסילת פתרונות שקר

נחזור להצבה שלנו \( x^2 = t \) ונמצא את \( x \): עבור \( t_1 = 1 \): \( x^2 = 1 \Rightarrow x = 1 \ , \ x = -1 \) שני הפתרונות הללו עומדים בתחום ההצבה ולכן הם תקינים. עבור \( t_2 = 4 \): \( x^2 = 4 \Rightarrow x = 2 \ , \ x = -2 \) אבל רגע! זוכרים את שלב 2? תחום ההצבה קבע ש- \( x \neq 2 \) וש- \( x \neq -2 \). הפתרונות האלו מאפסים את המכנה המקורי ולכן הם נפסלים מיד. לכן, הפתרונות היחידים התקינים למשוואה הם: \( x = 1 \) ו- \( x = -1 \).