אלגברה · מערכות משוואות

שלב 1: פירוק לגורמים בעזרת נוסחת כפל מקוצר

נסתכל על המשוואה הראשונה: \( (x - y)(x^2 - y^2) = 75 \). הביטוי \( x^2 - y^2 \) הוא הפרש ריבועים. לפי נוסחת הכפל המקוצר, ניתן לפרק אותו כך: \[ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \] נציב את הפירוק חזרה אל תוך המשוואה הראשונה: \[ (x - y) \cdot (x - y)(x + y) = 75 \] אפשר לכנס את האיברים הזהים, ונקבל: \[ (x - y)^2 \cdot (x + y) = 75 \]

מושגים: פירוק הפרש ריבועים

שלב 2: הצבת המשוואה השנייה

המשוואה השנייה שנתונה לנו היא: \( x + y = 3 \). אנו יכולים לקחת את הערך המספרי של \( x + y \) (שהוא 3), ולהציב אותו ישירות בתוך המשוואה החדשה שקיבלנו בשלב 1: \[ (x - y)^2 \cdot 3 = 75 \] נחלק את המשוואה ב-3 כדי לבודד את הסוגריים הריבועיים: \[ (x - y)^2 = 25 \]

מושגים: הצבת משוואה במשוואה

שלב 3: פיצול לשני מקרים

הגענו למשוואה מהצורה של משהו בריבוע שווה ל-25. עלינו להוציא שורש ריבועי לשני האגפים. כאשר מוציאים שורש למשתנה, אסור לשכוח שיש שני פתרונות: פלוס ומינוס! מקרה א': \( x - y = 5 \) מקרה ב': \( x - y = -5 \) כעת עלינו לפתור כל אחד מהמקרים האלה כמערכת משוואות קטנה מול המשוואה המקורית השנייה שלנו (\( x + y = 3 \)).

מושגים: הוצאת שורש זוגי

שלב 4: פתרון שתי מערכות המשוואות (המקרים)

פתרון עבור מקרה א': \( x - y = 5 \) \( x + y = 3 \) נפתור בשיטת חיבור משוואות. נחבר את שתי המשוואות: \[ 2x = 8 \implies x = 4 \] נציב \( x = 4 \) במשוואה השנייה: \( 4 + y = 3 \implies y = -1 \). הפתרון הראשון הוא: (4, -1). פתרון עבור מקרה ב': \( x - y = -5 \) \( x + y = 3 \) נחבר שוב את שתי המשוואות: \[ 2x = -2 \implies x = -1 \] נציב \( x = -1 \) במשוואה השנייה: \( -1 + y = 3 \implies y = 4 \). הפתרון השני הוא: (-1, 4). סיכום: למערכת יש שני זוגות של פתרונות: \( (4, -1) \) או \( (-1, 4) \).