אלגברה · סדרות

שלב 1: מציאת הפרמטר p (סעיף א')

אנו יודעים כי סדרת העזר מוגדרת כך: \( b_n = a_n + p \). אם נבודד את a מתוך המשוואה, נקבל: \( a_n = b_n - p \). באופן זהה, עבור האיבר הבא מתקיים: \( a_{n+1} = b_{n+1} - p \). כעת ניקח את כלל הנסיגה הנתון בשאלה: \( a_{n+1} = 2 \cdot a_n + 6 \). נציב במקומו את הביטויים של b שמצאנו: \[ b_{n+1} - p = 2(b_n - p) + 6 \] נפתח סוגריים ונעביר את p אגף כדי לבודד את \( b_{n+1} \): \[ b_{n+1} = 2b_n - 2p + 6 + p \] \[ b_{n+1} = 2b_n - p + 6 \] מצד שני, הנתון אומר שהסדרה b היא סדרה הנדסית שמנתה 2 (\( q = 2 \)). המשמעות של סדרה הנדסית היא שכל איבר שווה לאיבר הקודם כפול המנה. כלומר, בוודאות מתקיים: \[ b_{n+1} = 2 \cdot b_n \] כעת יש לנו שני ביטויים עבור \( b_{n+1} \). נשווה ביניהם: \[ 2b_n - p + 6 = 2b_n \] נצמצם את \( 2b_n \) משני האגפים ונקבל: \[ -p + 6 = 0 \implies p = 6 \]

מושגים: כלל נסיגה וסדרת עזר, הגדרת סדרה הנדסית

שלב 2: תבנית לאיבר הכללי של סדרה a (סעיף ב')

נתון לנו כי \( b_1 = 3 \), ומצאנו כבר שמנת הסדרה היא \( q = 2 \). נשתמש בנוסחת האיבר הכללי של סדרה הנדסית (\( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \)) כדי למצוא את האיבר הכללי של b: \[ b_n = 3 \cdot 2^{n-1} \] התבקשנו למצוא את האיבר הכללי של סדרה a. בסעיף הקודם בודדנו את a וראינו ש-\( a_n = b_n - p \). כיוון שמצאנו ש-\( p = 6 \), אז למעשה: \( a_n = b_n - 6 \). נציב את האיבר הכללי של b שמצאנו כעת, ונקבל את התבנית המבוקשת: \[ a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 6 \]

שלב 3: נוסחת סכום של הסדרה a (סעיף ג')

הסדרה a אינה סדרה חשבונית ואינה הנדסית (בגלל ה-"מינוס 6"), ולכן לא ניתן להשתמש בנוסחאות הסכום הרגילות ישירות עליה. הפתרון הוא להשתמש בקשר לסדרת העזר b. אנו מחפשים את סכום \( n \) האיברים הראשונים של a: \[ S_n(a) = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n \] נציב את הקשר \( a_n = b_n - 6 \) עבור כל איבר בסכום: \[ S_n(a) = (b_1 - 6) + (b_2 - 6) + (b_3 - 6) + ... + (b_n - 6) \] אפשר "לסדר מחדש" את האיברים, ולחבר את כל איברי b ביחד, ואת כל מספרי ה-"מינוס 6" ביחד. מכיוון שיש לנו n איברים, המספר (6-) יופיע בדיוק n פעמים. \[ S_n(a) = (b_1 + b_2 + ... + b_n) - 6n \] הסוגריים הראשונים הם בדיוק הסכום של סדרה הנדסית (b). נחשב אותו לפי הנוסחה \( S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} \): \[ S_n(b) = \frac{3(2^n - 1)}{2 - 1} = \frac{3(2^n - 1)}{1} = 3(2^n - 1) \] נחזור לסכום הכללי, ונציב את התוצאה במקום הסוגריים: \[ S_n(a) = 3(2^n - 1) - 6n \]

מושגים: סכום סדרה מורכבת