אלגברה · מערכת אי-שוויונים

שלב 1: הבעת צלעות המלבן

הנקודה A היא הקודקוד הימני-עליון של המלבן. היא מונחת על הישר \( y = -2x + 20 \). אם נסמן את שיעור ה-x של נקודה A כ-x, שיעור ה-y שלה יהיה לפי משוואת הישר. כלומר: \( A(x, -2x + 20) \). מכיוון שהמלבן נשען על הצירים (הקודקוד השמאלי-תחתון הוא בראשית הצירים), נוכל להגדיר את אורך צלעות המלבן: רוחב המלבן = \( x \) גובה המלבן = \( -2x + 20 \)

מושגים: בניית פונקציות מטרה מתוך גרף

שלב 2: תנאי ראשון - דרישת ההיקף

היקף מלבן הוא סכום כל הצלעות: \( P = 2 \cdot \text{רוחב} + 2 \cdot \text{גובה} \) נציב את הצלעות שלנו: \[ P = 2 \cdot x + 2 \cdot (-2x + 20) \] \[ P = 2x - 4x + 40 \] \[ P = -2x + 40 \] הדרישה היא שההיקף יהיה קטן מ-32. לכן נבנה אי-שוויון: \[ -2x + 40 < 32 \] נעביר את 40 אגף: \[ -2x < -8 \] נחלק ב-(-2). זהירות! בחלוקה במספר שלילי סימן אי-השוויון מתהפך: תנאי 1: \( x > 4 \)

שלב 3: תנאי שני - דרישת השטח

שטח מלבן הוא רוחב כפול גובה: \[ S = x \cdot (-2x + 20) \] \[ S = -2x^2 + 20x \] הדרישה היא שהשטח יהיה גדול מ-42. לכן נבנה את אי-השוויון השני: \[ -2x^2 + 20x > 42 \] נעביר את 42 אגף שמאלה: \[ -2x^2 + 20x - 42 > 0 \] כדי לפשט, נחלק את כל אי-השוויון ב-(-2). ושוב, הסימן יתהפך: \[ x^2 - 10x + 21 < 0 \] כעת נמצא את השורשים של המשוואה \( x^2 - 10x + 21 = 0 \). אפשר בעזרת נוסחת שורשים או טרינום: \( (x - 3)(x - 7) = 0 \). השורשים הם \( x = 3 \) ו- \( x = 7 \). מכיוון שהפרבולה צוחקת (המקדם של \( x^2 \) הוא 1, חיובי) ואנו מחפשים איפה היא קטנה מאפס (מתחת לציר ה-x), הפתרון נמצא "בפנים" - בין השורשים. תנאי 2: \( 3 < x < 7 \)

מושגים: פתרון אי-שוויון ריבועי

שלב 4: חיתוך התחומים (מערכת "וגם")

כדי לפתור את השאלה כולה, עלינו למצוא תחום שבו גם תנאי ההיקף (1) וגם תנאי השטח (2) מתקיימים במקביל (מערכת "וגם"). התנאים שמצאנו: 1. \( x > 4 \) 2. \( 3 < x < 7 \) החיתוך של שני התנאים האלה (התחום המשותף לשניהם) הוא פשוט המספרים שגדולים מ-4 וקטנים מ-7. בנוסף, ישנו תנאי סמוי: המלבן כולו נמצא ברביע הראשון. זה אומר שאורכי הצלעות חייבים להיות חיוביים: \( x > 0 \) וגם \( -2x + 20 > 0 \) (\( \implies x < 10 \)). תנאי הרביע הראשון הוא בסך הכל \( 0 < x < 10 \), והתחום שמצאנו נכנס במלואו בתוך התחום הזה (לכן הוא תקני). התשובה הסופית היא: \[ 4 < x < 7 \]

מושגים: מערכת תנאים "וגם"