פונקציות רציונליות · חקירה עם חור וערך מוחלט

השאלה

נתונה הפונקצייה: f(x) = \frac{x^2-4x}{x^2-16} חקרו את הפונקציה וענו על הסעיפים הבאים: א. מצאו את: (1) תחום ההגדרה של הפונקצייה. (2) משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים. אם יש נקודת "חור", ציינו את שיעוריה. (3) נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה עם הצירים. (4) תחומי עלייה וירידה של הפונקצייה. ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה $f(x)$. ג. סעיף חשיבה: נגדיר פונקציה חדשה $g(x) = |f(x)|$. (1) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $g(x)$. (2) כמה נקודות קיצון יש לפונקציה $g(x)$ בתחום $x > -4$? ציינו את סוגן.

הטיפ של עובד

שימו לב לגרף של $|f(x)|$. המעבר בין החלק שקיפלנו (החלק שהיה מתחת לציר) לבין החלק המקורי יוצר נקודת 'שפיץ' בראשית הצירים. בנקודה הזו הנגזרת לא קיימת, אבל זו נקודת מינימום לכל דבר ועניין! בסקיצה, ודאו שהגרף נוגע בציר ה-x בנקודה $(0,0)$ וממשיך מיד למעלה.

פתרון מודרך, צעד אחר צעד

שלב 1: תחום הגדרה

תחום ההגדרה נקבע על ידי המכנה: x^2 - 16 = 0 \Rightarrow x = \pm 4 לכן תחום ההגדרה: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-4, 4\}$

מושגים: תחום הגדרה, פונקציה רציונלית

שלב 2: אסימפטוטות ונקודת חור

אסימפטוטה אנכית: $x = -4$ (מכנה מתאפס, מונה לא). עבור $x = 4$: גם המונה וגם המכנה מתאפסים, לכן נפרק: f(x) = \frac{x(x-4)}{(x+4)(x-4)} = \frac{x}{x+4} \text{ עבור } x \neq 4 נקודת חור: כאשר $x = 4$, הערך הוא $\frac{4}{8} = 0.5$, כלומר בנקודה $(4, 0.5)$. אסימפטוטה אופקית: היחס בין מקדמי החזקות הגבוהות ביותר הוא $y = 1$

מושגים: אסימפטוטות, חור בגרף

שלב 3: נקודות חיתוך עם הצירים

חיתוך עם ציר ה-$y$: כאשר $x = 0$, f(0) = \frac{0-0}{0-16} = 0 חיתוך עם ציר ה-$x$: כאשר $f(x) = 0$, המונה יהיה אפס: $x^2 - 4x = 0 \Rightarrow x(x-4) = 0$. אך $x = 4$ אינו בתחום, ולכן רק $(0, 0)$

מושגים: חיתוך עם צירים

שלב 4: עלייה וירידה

נחשב את הנגזרת של הפונקציה המצומצמת: f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{x+4}\right) = \frac{(x+4) - x}{(x+4)^2} = \frac{4}{(x+4)^2} מכיוון ש-$f'(x) > 0$ בכל התחום, הפונקציה עולה בכל קטע מתחום הגדרתה

מושגים: נגזרת, עלייה וירידה

שלב 5: ניתוח $g(x) = |f(x)|$

הפונקציה $f(x)$ משלילית בקטע $0 < x < 4$ ועדיין חיובית כאשר $x < 0$ או $x > 4$. כאשר מיישמים ערך מוחלט, החלק השלילי מקופל כלפי מעלה. ב-$x = 0$, הפונקציה המקורית עוברת דרך הציר, כך שגרף $|f(x)|$ יוצר נקודת שפיץ (cusp) בנקודה $(0, 0)$. זוהי נקודת מינימום של $g(x)$ בתחום $x > -4$

מושגים: ערך מוחלט, קיצון, נקודת שפיץ

פוקוס המורה הפרטי

ניתוח פונקציות רציונליות עם חורים וההשפעה של פעולת הערך המוחלט על המבנה הגיאומטרי של הגרף

חזרה לקטלוג

#18פונקציות רציונליות

חקירה עם חור וערך מוחלט

קראו את השאלה

שאלה

נתונה הפונקצייה:

f(x) = \frac{x^2-4x}{x^2-16}

חקרו את הפונקציה וענו על הסעיפים הבאים: א. מצאו את: (1) תחום ההגדרה של הפונקצייה. (2) משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים. אם יש נקודת "חור", ציינו את שיעוריה. (3) נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה עם הצירים. (4) תחומי עלייה וירידה של הפונקצייה. ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה $f(x)$ . ג. סעיף חשיבה: נגדיר פונקציה חדשה $g(x) = |f(x)|$ . (1) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $g(x)$ . (2) כמה נקודות קיצון יש לפונקציה $g(x)$ בתחום $x > -4$ ? ציינו את סוגן.