חקירת פונקציה · חקירה עם פרמטר ומספר פתרונות
השאלה
נתונה הפונקצייה: $f(x) = \frac{x^2-a}{x^2-4}$ חקרו את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים: א. ענו על תת-הסעיפים הבאים: א-1. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה. א-2. ידוע כי גרף הפונקצייה חותך את ציר ה-$x$ בנקודה שבה $x = 1$. מצאו את ערך הפרמטר $a$. א-3. מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקצייה המאונכות לצירים. א-4. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה וקבעו את סוגה. ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה $f(x)$. ג. סעיף חשיבה: מצאו עבור אילו ערכי $k$ לישר $y = k$ אין אף נקודת חיתוך עם גרף הפונקצייה. נמקו בעזרת הגרף.
הטיפ של עובד
בסעיף ג' מסתתרת הבנה גרפית קריטית. בפונקציות מהסוג הזה, נוצרת לפעמים 'רצועה' של ערכי $y$ שבה הפונקציה פשוט לא קיימת. בדרך כלל מדובר באזור שבין נקודת הקיצון (במקרה הזה המקסימום ב-$x=0$) לבין האסימפטוטה האופקית. הסתכלו על הסקיצה שלכם: כל ישר אופקי שיעבור מעל המקסימום אבל מתחת לאסימפטוטה (או עליה) לא יפגוש את הגרף לעולם. זה הטווח שאתם מחפשים!
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: א-1: תחום ההגדרה
המכנה אינו יכול להיות אפס. המכנה $x^2 - 4 = 0$ כאשר $x^2 = 4$, כלומר $x = \pm 2$. x \neq \pm 2
מושגים: תחום הגדרה, מכנה
שלב 2: א-2: מציאת הפרמטר a
הגרף חותך את ציר ה-x בנקודה $x = 1$, כלומר $f(1) = 0$: $\frac{1^2-a}{1^2-4} = 0$ כדי שהשבר יהיה אפס, המונה חייב להיות אפס: $1 - a = 0$ a = 1
מושגים: חיתוך עם ציר, פרמטר
שלב 3: א-3: אסימפטוטות
אסימפטוטות אנכיות: המכנה מתאפס ב-$x = \pm 2$, והמונה לא מתאפס בנקודות אלה. x = \pm 2 אסימפטוטה אופקית: החזקה הגבוהה ביותר במונה וביוצא הדופן היא $x^2$ עם מקדם 1 בשניהם. לכן: y = 1
מושגים: אסימפטוטה אנכית, אסימפטוטה אופקית
שלב 4: א-4: נקודת קיצון
נגזור באמצעות כלל המנה: $f'(x) = \frac{2x(x^2-4) - (x^2-1) \cdot 2x}{(x^2-4)^2} = \frac{2x[-3]}{(x^2-4)^2} = \frac{-6x}{(x^2-4)^2}$ משוואה $f'(x) = 0$: $x = 0$. בנקודה זו: $f(0) = \frac{0-1}{0-4} = \frac{1}{4} = 0.25$ בדיקת סימן: כאשר $x < 0$ הנגזרת חיובית (עלייה), כאשר $x > 0$ שלילית (ירידה). לכן זה מקסימום. (0, 0.25) \text{ מקסימום}
מושגים: נגזרת, קיצון, מקסימום
שלב 5: ב: סרטוט הגרף
הגרף מכיל: מקסימום בנקודה $(0, 0.25)$, אסימפטוטות אנכיות ב-$x = \pm 2$, ואסימפטוטה אופקית ב-$y = 1$.
מושגים: סרטוט, גרף
שלב 6: ג: ערכי k ללא חיתוך
ישר אופקי $y = k$ לא יחתוך את הגרף כאשר הוא עובר בתחום 'ריק' בין המקסימום לאסימפטוטה האופקית. 0.25 < k \le 1
מושגים: חיתוך, אסימפטוטה, טווח
פוקוס המורה הפרטי
הבנה של כך שלא כל ערך y מתורגם לנקודה על הגרף
