חדו״א · תרגיל 8: חקירה מלאה והערכת שטח חסום
השאלה
נתונה הפונקצייה: f(x) = \frac{9-x^2}{x^2+3} חקרו את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים: א. מצאו את: א-1. תחום ההגדרה של הפונקצייה. א-2. משוואות האסימפטוטות של הפונקצייה המאונכות לצירים. א-3. נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה עם הצירים. א-4. שיעורי נקודת הקיצון וקביעת סוגה. ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה $f(x)$. ג. סעיף חשיבה: נסמן ב-$S$ את השטח הכלוא בין גרף הפונקצייה לבין ציר ה-$x$. האם השטח $S$ קטן מ-18, שווה ל-18 או גדול מ-18? נמקו את קביעתכם בעזרת סרטוט מלבן מתאים על מערכת הצירים.
הטיפ של עובד
בסעיף ג' אל תנסו לעשות אינטגרל! זה סעיף של הבנה ויזואלית. תחשבו על הגרף שסרטטתם: הוא חסום בין $x=-3$ ל-$x=3$ (רוחב של 6 יחידות) והשיא שלו הוא ב-$y=3$. אם תציירו מלבן שרוחבו 6 וגובהו 3, כל השטח הכלוא נמצא בתוך המלבן הזה. מכיוון שהפונקציה לא 'ממלאת' את כל המלבן, השטח שלה חייב להיות קטן משטח המלבן. פשוט ואלגנטי!
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: א-1 ו א-2: תחום ההגדרה ואסימפטוטות
המחנה $x^2+3$ תמיד חיובי (חזקה זוגית בתוספת מספר חיובי), ולכן הפונקציה מוגדרת לכל $x$. תחום הגדרה: כל $x$ (אין הגבלות) אסימפטוטות אנכיות: אין, כי המחנה לא מתאפס. אסימפטוטה אופקית: כיוון שהמעלה של המונה שווה למעלה של המחנה (שתיהן 2), ניקח את היחס בין המקדמים הגבוהים ביותר: $y = \frac{-1}{1} = -1$
מושגים: תחום הגדרה, אסימפטוטות, פונקציה רציונלית
שלב 2: א-3: נקודות חיתוך עם הצירים
חיתוך עם ציר $x$: נשווה את המונה לאפס: $9-x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$ נקודות: $(3, 0)$ ו $(-3, 0)$ חיתוך עם ציר $y$: נציב $x = 0$: $f(0) = \frac{9-0}{0+3} = \frac{9}{3} = 3$ נקודה: $(0, 3)$
מושגים: חיתוך צירים, נקודות מיוחדות
שלב 3: א-4: נקודות קיצון
נגזור באמצעות כלל המנה: $f'(x) = \frac{(-2x)(x^2+3) - (9-x^2)(2x)}{(x^2+3)^2} = \frac{-2x^3 - 6x - 18x + 2x^3}{(x^2+3)^2} = \frac{-24x}{(x^2+3)^2}$ נשווה לאפס: $-24x = 0 \Rightarrow x = 0$ בדיקה: - כאשר $x < 0$: $f'(x) > 0$ (עולה) - כאשר $x > 0$: $f'(x) < 0$ (יורדת) לכן ב-$(0, 3)$ יש מקסימום.
מושגים: נגזרת, כלל המנה, קיצון מקומי
שלב 4: ב: סרטוט סקיצה של הגרף
על סמך הנתונים: - תחום הגדרה: כל $x$ - אסימפטוטה אופקית: $y = -1$ (הגרף מתקרב אליה בשני הקצוות) - נקודות חיתוך: $(3, 0)$, $(-3, 0)$, $(0, 3)$ - מקסימום ב-$(0, 3)$ - הפונקציה זוגית (סימטרית סביב ציר $y$) - הגרף יורד בצידיו אל האסימפטוטה
מושגים: גרף פונקציה, תכונות גרף, סימטריה
שלב 5: ג: הערכת השטח החסום
השטח $S$ הוא השטח בין גרף הפונקציה לציר ה-$x$ בתחום שהפונקציה חיובית. נצייר מלבן בעל: - רוחב: 6 יחידות (מ-$x=-3$ עד $x=3$) - גובה: 3 יחידות (מ-$y=0$ עד $y=3$, שהיא הנקודה המקסימלית) שטח המלבן: $6 \times 3 = 18$ הגרף של הפונקציה כולו כלול בתוך המלבן, אך לא ממלא אותו לחלוטין (כי הגרף בעל עקמומיות ולא מלבני). לכן: $S < 18$
מושגים: שטח חסום, הערכה גיאומטרית, השוואת שטחים
