חזרה לקטלוג
#31סדרות הנדסיות
סדרה הנדסית אינסופיתקראו את השאלה
שאלה
סכום כל האיברים בסדרה הנדסית אינסופית הוא 112. סכום האיברים במקומות הראשון, הרביעי, השביעי וכו' של סדרה זו הוא 64. מצא את האיבר הראשון ואת מנת הסדרה .
סדרות הנדסיות · סדרה הנדסית אינסופית
השאלה
סכום כל האיברים בסדרה הנדסית אינסופית הוא 112. סכום האיברים במקומות הראשון, הרביעי, השביעי וכו' של סדרה זו הוא 64. מצא את האיבר הראשון $a_1$ ואת מנת הסדרה $q$.
הטיפ של עובד
חברים, שימו לב ל"קפיצות"! כשאומרים לכם מקומות 1, 4, 7... אתם בעצם מסתכלים על סדרה חדשה. האיבר הראשון שלה הוא עדיין $a_1$, אבל המנה שלה היא $q^3$ (כי קפצנו 3 צעדים). מכאן זה הופך לתרגיל אלגברי. הסוד הגדול בפתרון הוא לזכור את נוסחת הפירוק של הפרש קוביות: $1 - q^3 = (1-q)(1+q+q^2)$ בלי הפירוק הזה, אתם תתקעו עם משוואות מעצבנות ממעלה שלישית.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: שלב א': בניית משוואות הסכום
עבור כל הסדרה: \frac{a_1}{1-q} = 112 \implies a_1 = 112(1-q) עבור סדרת המקומות (1, 4, 7...): המנה החדשה היא $q^3$, לכן: \frac{a_1}{1-q^3} = 64 \implies a_1 = 64(1-q^3)
מושגים: סדרה הנדסית, סכום אינסופי, נוסחת הסכום
שלב 2: שלב ב': השוואת ביטויים וצמצום אלגברי
נשווה בין שני הביטויים של $a_1$: 112(1-q) = 64(1-q^3) נשתמש בפירוק $1-q^3 = (1-q)(1+q+q^2)$: 112(1-q) = 64(1-q)(1+q+q^2) נחלק ב-$16(1-q)$: 7 = 4(1+q+q^2) \implies 4q^2 + 4q + 4 = 7 4q^2 + 4q - 3 = 0
מושגים: פירוק אלגברי, משוואה ריבועית, צמצום
שלב 3: שלב ג': פתרון המשוואה הריבועית ומציאת $a_1$
נפתור את המשוואה הריבועית: q_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{8} = \frac{-4 \pm 8}{8} מתקבל $q = 0.5$ או $q = -1.5$. מכיוון שהסדרה מתכנסת, $|q| < 1$, ולכן $q = 0.5$. נציב חזרה כדי למצוא את האיבר הראשון: a_1 = 112(1 - 0.5) = 112 \cdot 0.5 = 56
מושגים: משוואה ריבועית, נוסחת השורשים, התכנסות סדרה
תשובה סופית
התשובה הסופית: $a_1 = 56, q = 0.5$