נתון משולש שווה שוקיים $ABC$ ($AB = AC$). חצי מעגל, שהבסיס $BC$ הוא הקוטר שלו, חותך את שוקי המשולש בנקודות $D$ ו-$E$. נתון: $\angle BAC = 2\alpha$, $ED = 2k$. א. הוכח כי המשולש $AED$ דומה למשולש $ABC$, ומצא את יחס הדמיון באמצעות $\alpha$. ב. בטא באמצעות $k$ ו-$\alpha$ את אורך בסיס המשולש $BC$. ג. הראה כי שטח הטרפז $EDCB$ שווה לביטוי: $\frac{k^2 \cdot \sin^2 2\alpha}{\tan \alpha \cdot \cos^2 2\alpha}$. ד. נתון כי $BC = \frac{k}{\sin \alpha \cos \alpha}$. מצא את גודל הזווית $\alpha$.
בסעיף ג' המטרה היא להגיע בדיוק לביטוי המפחיד שרשום בשאלה. הדרך הכי קלה לעשות את זה היא לא להשתמש בנוסחת הטרפז הרגילה, אלא להשתמש בגבהים של המשולשים. תזכרו שהגובה של הטרפז הוא פשוט ההפרש בין גובה המשולש הגדול ($ABC$) לגובה המשולש הקטן ($AED$). ברגע שתעלו על זה, ה-$\sin^2 2\alpha$ יצוץ לכם מהזהות $1-\cos^2 2\alpha$.
נסמן את גובה $\triangle ABC$ ב-$H$ ואת גובה $\triangle AED$ ב-$h$. H = \frac{BC/2}{\tan \alpha} = \frac{k}{\tan \alpha \cos 2\alpha} h = \frac{ED/2}{\tan \alpha} = \frac{k}{\tan \alpha} h_{\text{trap}} = H - h = \frac{k(1 - \cos 2\alpha)}{\tan \alpha \cos 2\alpha}
מושגים: גובה משולש, טרפז, משולש שווה שוקיים
S = \frac{(BC + ED) \cdot h_{\text{trap}}}{2} = \frac{\left(\frac{2k}{\cos 2\alpha} + 2k\right) \cdot \frac{k(1 - \cos 2\alpha)}{\tan \alpha \cos 2\alpha}}{2}
מושגים: שטח טרפז, נוסחה
נוציא גורם משותף $2k$: S = \frac{2k \cdot \frac{1 + \cos 2\alpha}{\cos 2\alpha} \cdot \frac{k(1 - \cos 2\alpha)}{\tan \alpha \cos 2\alpha}}{2} = \frac{k^2(1 + \cos 2\alpha)(1 - \cos 2\alpha)}{\tan \alpha \cos^2 2\alpha} נשתמש בזהות $(1-x)(1+x) = 1-x^2$: S = \frac{k^2(1 - \cos^2 2\alpha)}{\tan \alpha \cos^2 2\alpha} = \frac{k^2 \sin^2 2\alpha}{\tan \alpha \cos^2 2\alpha} \quad \blacksquare
מושגים: זהויות טריגונומטריות, אלגברה, פישוט
המשולש $AED$ דומה למשולש $ABC$ כיוון ש-$\angle AED = 90°$ (זווית על קוטר), וזוויות הבסיס שוות. יחס הדמיון הוא $\cos(2\alpha)$.
מושגים: דמיון משולשים, זוויות, קוטר וזווית
מהנתון $ED = 2k$ ויחס הדמיון $\cos(2\alpha)$: BC = \frac{ED}{\cos 2\alpha} = \frac{2k}{\cos 2\alpha}
מושגים: דמיון משולשים, יחס הדמיון
נתון כי $BC = \frac{k}{\sin \alpha \cos \alpha}$. משוואת השוואה: \frac{2k}{\cos 2\alpha} = \frac{k}{\sin \alpha \cos \alpha} תוך שימוש בזהות $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$ ו-$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$, פתרון המשוואה נותן: \alpha = 22.5^\circ = \frac{\pi}{8}
מושגים: משוואה טריגונומטרית, זוויות מיוחדות
דמיון משולשים וחישוב שטחי צורות מורכבות באמצעות זהויות טריגונומטריות
נתון משולש שווה שוקיים ABC (AB=AC). חצי מעגל, שהבסיס BC הוא הקוטר שלו, חותך את שוקי המשולש בנקודות D ו-E. נתון: ∠BAC=2α, ED=2k.
א. הוכח כי המשולש AED דומה למשולש ABC, ומצא את יחס הדמיון באמצעות α. ב. בטא באמצעות k ו-α את אורך בסיס המשולש BC. ג. הראה כי שטח הטרפז EDCB שווה לביטוי: tanα⋅cos22αk2⋅sin22α. ד. נתון כי BC=sinαcosαk. מצא את גודל הזווית α.
