במשולש ישר-זווית $\triangle CAB$ ($\measuredangle CAB = 90°$) הניצב $AB$ הוא קוטר במעגל שמרכזו $O$. היתר $BC$ חותך את המעגל גם בנקודה $P$. המשיק למעגל בנקודה $P$ חותך את הניצב $CA$ בנקודה $E$ (ראה ציור). סרטוט של המשולש עם המעגל והמשיק א. הוכח כי $CE = EA$. ב. אם נתון כי $\frac{CP}{EA} = 1.2$, וכי שטח המשולש $\triangle CPE$ הוא 18 סמ״ר, מצא את שטח המשולש $\triangle PAB$. נמק.
סעיף א׳ הוא מתנה למי שזוכר שני משפטי יסוד: (1) זווית היקפית הנשענת על קוטר היא 90 מעלות; (2) משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה ($EA=EP$). לגבי סעיף ב׳, היחס הנתון נותן לכם את הקוסינוס של זווית $C$. השתמשו ביחסי דמיון ושטחים בין המשולשים הישרי-זווית.
נעביר את הקטע $AP$. מכיוון ש-$AB$ הוא קוטר, הזווית ההיקפית הנשענת עליו היא ישרה: $\measuredangle APB = 90°$.
מושגים: משפט הזווית ההיקפית, קוטר, זווית ישרה
מכאן נובע שהזווית הצמודה לה גם היא ישרה: $\measuredangle APC = 90°$. קיבלנו שמשולש $\triangle APC$ הוא ישר זווית.
מושגים: זוויות צמודות, משולש ישר זווית, זוויות
$EA$ משיק למעגל בנקודה $A$ (הרדיוס מאונך למשיק). $EP$ משיק למעגל בנקודה $P$. משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה: $EA = EP$.
מושגים: משיק, משפט המשיקים, רדיוס מאונך
במשולש $\triangle APE$, כיוון ש-$EA=EP$, המשולש שווה שוקיים, ולכן זוויות הבסיס שוות: $\measuredangle EPA = \measuredangle EAP$.
מושגים: משולש שווה שוקיים, זוויות בסיס, שוויון זוויות
במשולש $\triangle APC$ הזווית $\measuredangle C = 90° - \measuredangle EAP$. בנקודה $P$, הזווית $\measuredangle EPC = 90° - \measuredangle EPA$. מכיוון שהזוויות $\measuredangle EAP$ ו-$\measuredangle EPA$ שוות, נובע ש-$\measuredangle EPC = \measuredangle C$, ולכן משולש $\triangle EPC$ גם הוא שווה שוקיים: $CE = EP$.
מושגים: זוויות משלימות, משולש שווה שוקיים, גיאומטריה
מכלל המעבר: $EA = EP$ ו-$CE = EP$, לכן $CE = EA$. מש״ל.
מושגים: טרנזיטיביות, הוכחה, שוויון
נסמן $\measuredangle C = \alpha$. מצאנו ש-$CE=EA=EP$. נסמן אורך זה ב-$x$, לכן $AC = 2x$. נתון: $\frac{CP}{EA} = 1.2$, לכן $CP = 1.2x$.
מושגים: סימון משתנים, יחסים, נתונים
נוריד גובה מ-$E$ ל-$CP$ במשולש שווה השוקיים $\triangle CPE$. הגובה חוצה את הבסיס, לכן חצי הבסיס הוא $0.6x$. ממשולש ישר הזווית שנוצר: $\cos \alpha = \frac{0.6x}{x} = 0.6 = \frac{3}{5}$.
מושגים: קוסינוס, טריגונומטריה, משולש שווה שוקיים
משולשים $\triangle APC$ ו-$\triangle BPA$ הם שניהם ישרי זווית ובעלי זווית זהה ($\measuredangle C = \measuredangle PAB = \alpha$), לכן הם דומים. יחס השטחים שווה לריבוע יחס הצלעות: $\frac{S_{\triangle APC}}{S_{\triangle PAB}} = \left(\frac{PC}{AP}\right)^2$.
מושגים: דמיון משולשים, יחס שטחים, יחס צלעות
במשולש $\triangle APC$: $\cot \alpha = \frac{PC}{AP}$. אם $\cos \alpha = \frac{3}{5}$, מזהות פיתגורס נקבל $\sin \alpha = \frac{4}{5}$. לכן: $\cot \alpha = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$. יחס השטחים: $\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}$.
מושגים: קוטנגנס, טריגונומטריה, זהות פיתגורס
נתון $S_{\triangle CPE} = 18$. מכיוון ש-$CE=EA$, התיכון $PE$ מחלק את $\triangle APC$ לשני משולשים שווי שטח, לכן $S_{\triangle APC} = 2 \cdot 18 = 36$ סמ״ר. מהיחס $\frac{S_{\triangle APC}}{S_{\triangle PAB}} = \frac{9}{16}$: $\frac{36}{S_{\triangle PAB}} = \frac{9}{16}$, נקבל $S_{\triangle PAB} = \frac{36 \cdot 16}{9} = 64$ סמ״ר.
מושגים: שטח משולש, תיכון, יחס שטחים
במשולש ישר-זווית △CAB (∡CAB=90°) הניצב AB הוא קוטר במעגל שמרכזו O. היתר BC חותך את המעגל גם בנקודה P. המשיק למעגל בנקודה P חותך את הניצב CA בנקודה E (ראה ציור).
א. הוכח כי CE=EA.
ב. אם נתון כי EACP=1.2, וכי שטח המשולש △CPE הוא 18 סמ״ר, מצא את שטח המשולש △PAB. נמק.
