חקירת נגזרות והקשר שביניהן נתונה הנגזרת השנייה של הפונקציה $f(x)$: f''(x) = \frac{-6x^2 - 3x + 3}{\sqrt{(1+x^2)^5}} הפונקציה $f(x)$ מוגדרת לכל $x$. א. מבין הגרפים I, II, III, IV שלפניך, איזה גרף מתאר את פונקציית הנגזרת $f'(x)$? נמק. גרפים להשוואה ב. 1. מצא את תחומי הקעירות כלפי מטה ∩ ותחומי הקעירות כלפי מעלה ∪ של הפונקציה $f(x)$. נמק. 2. היעזר בגרף של $f'(x)$ שבסעיף א', ומצא בין אילו שני מספרים שלמים עוקבים נמצא שיעור ה-$x$ של נקודת הקיצון של $f(x)$. נמק. 3. שרטט סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$, אם ידוע כי הגרף חותך את ציר ה-$x$ רק בנקודה אחת שבה $x = 3$. ג. לפניך סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת השלישית $f'''(x)$: גרף נגזרת שלישית מצא את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f'''(x)$, על ידי ציר ה-$x$, ציר ה-$y$ ועל ידי הישר $x = 2$ בתחום שבו $x \ge 0$.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: ניתוח הנגזרת השנייה
נתונה $f''(x) = \frac{-6x^2 - 3x + 3}{\sqrt{(1+x^2)^5}}$. המכנה חיובי תמיד, לכן סימן $f''(x)$ תלוי רק במונה $-6x^2 - 3x + 3$.
מושגים: נגזרת שנייה, ניתוח סימן, קיצון
שלב 2: סעיף א - זיהוי גרף $f'(x)$
מתוך ניתוח הנגזרת השנייה קובעים את קיצוני $f'(x)$ ואת התחומים שבהם $f'(x)$ עולה ויורדת. לפי הניתוח, הגרף המתאים לנתונים הוא גרף IV.
מושגים: נגזרת, גרף נגזרת, קיצון
שלב 3: סעיף ב(1) - תחומי הקעירות
קעירות מעלה ∪ (כאשר $f''(x) > 0$): $-1 < x < 0.5$ קעירות מטה ∩ (כאשר $f''(x) < 0$): $x < -1$ או $x > 0.5$
מושגים: נגזרת שנייה, קעירות, תחומי פונקציה
שלב 4: סעיף ב(2) - מיקום נקודת הקיצון
נקודות קיצון של $f(x)$ מתרחשות כאשר $f'(x) = 0$. מגרף $f'(x)$ בסעיף א' רואים שהגרף חוצה את ציר ה-$x$ בין $x = -1$ לבין $x = 0$.
מושגים: קיצון, נגזרת ראשונה, ניתוח גרף
שלב 5: סעיף ג - חישוב השטח
השטח המוגבל על ידי גרף $f'''(x)$, ציר ה-$x$, ציר ה-$y$, והישר $x = 2$ בתחום $x \ge 0$ מחושב באמצעות אינטגרציה או קריאה ישירה מהגרף, התוצאה היא $4.64$ יח"ר.
