במעגל שמרכזו $O$, הקטע $AB$ הוא קוטר. הנקודה $E$ נמצאת על המשך הקוטר $AB$ (כמתואר בציור). ישר היוצא מהנקודה $E$ חותך את המעגל בנקודות $C$ ו-$D$ (כך שהנקודה $C$ נמצאת בין $E$ ל-$D$). הנקודה $F$ נמצאת על המעגל. המיתרים $AF$, $BF$, $CF$ ו-$DF$ עוברים כמתואר בציור. נתון כי המיתר $FC$ חוצה את הזווית $\angle DFB$. שרטוט גיאומטריה שאלה 4 א. הוכח כי המיתר $AC$ חוצה את הזווית $\angle DAB$. ב. הוכח כי מתקיים השוויון: $AD \cdot CE = AE \cdot CD$ ג. נתון בנוסף כי אורך המיתר $CD$ שווה לאורך רדיוס המעגל ($CD = R$). חשב את הגדלים של שלוש זוויות המשולש $\triangle DAB$. נמק את שלבי החישוב.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: סעיף א' - הוכחה
מאחר ש-$AB$ הוא קוטר, לפי משפט תלס $\angle ACB = \angle ADB = 90°$. נתון ש-$FC$ חוצה את $\angle DFB$. בעזרת זוויות היקפיות (זוויות היקפיות שוות על קשתות שוות), נוכל להוכיח ש-$\angle DAC = \angle CAB$, ומכאן ש-$AC$ חוצה את $\angle DAB$.
מושגים: משפט תלס, זוויות היקפיות, חוצה זווית
שלב 2: סעיף ב' - הוכחה
מסעיף א' הוכחנו ש-$AC$ חוצה את $\angle DAB$. במשולש $\triangle ADE$, לפי משפט חוצה הזווית: $\frac{AD}{AE} = \frac{CD}{CE}$. מכפלת הצלעות צולבות נותנת: $AD \cdot CE = AE \cdot CD$.
מושגים: משפט חוצה הזווית, משולשים, יחס צלעות
שלב 3: סעיף ג' - חישוב
נתון $CD = R$ (רדיוס המעגל). קשת שאורכה שווה לרדיוס מתאימה לזווית מרכזית של $60°$ (כי $\frac{R}{2\pi R} \approx \frac{60°}{360°}$). זוית היקפית על קוטר היא $\angle ADB = 90°$. משילוב התנאים ומסעיף א', נקבל $\angle DAB = 60°$. לכן $\angle ABD = 180° - 90° - 60° = 30°$.
מושגים: קשתות מעגל, זוויות היקפיות, משפט תלס, סכום זוויות משולש
פוקוס המורה הפרטי
בסעיף ב' יש שתי דרכים חזקות להוכחה: משפט חוצה הזווית במשולש הגדול בדרך ישירה, או הוכחת דמיון סמוי דרך מרובע חסום. שתי הדרכים מובילות לאותה תשובה, וזו סימן לשאלה בנויה מעולה.
במעגל שמרכזו O, הקטע AB הוא קוטר.
הנקודה E נמצאת על המשך הקוטר AB (כמתואר בציור).
ישר היוצא מהנקודה E חותך את המעגל בנקודות C ו-D (כך שהנקודה C נמצאת בין E ל-D).
הנקודה F נמצאת על המעגל. המיתרים AF, BF, CF ו-DF עוברים כמתואר בציור.
נתון כי המיתר FC חוצה את הזווית ∠DFB.
א. הוכח כי המיתר AC חוצה את הזווית ∠DAB.
ב. הוכח כי מתקיים השוויון: AD⋅CE=AE⋅CD
ג. נתון בנוסף כי אורך המיתר CD שווה לאורך רדיוס המעגל (CD=R). חשב את הגדלים של שלוש זוויות המשולש △DAB. נמק את שלבי החישוב.
