סטטיסטיקה · רגרסיה ומתאם
השאלה
📊 תרגול מתכונת: רגרסיה ומתאם טבלה 1: $x$: 1, 2, 3, 4, 5 | $y$: 2, 4, 6, 8, 10 טבלה 2: $x$: 4, 5, 6, 7, 8 | $y$: 9, 11, 19, 22, 17 טבלה 3: $x$: 16, 17, 18, 19, 20 | $y$: 35, 34, 33, 32, 31 נסמן את מקדם המתאם בין $x$ ל-$y$ ב-$r$. א. התאימו כל אחד מן ההיגדים I–III שלפניכם לטבלאות 1–3: I. $0 < r < 1$ II. $r = 1$ III. $r = -1$ הנתונים בטבלה 2 מתייחסים לקבוצה של 5 ספורטאים. המשתנה $x$ מייצג מספר פעמים בשבוע שכל אחד מתאמן, והמשתנה $y$ מייצג את מספר השעות השבועיות שהוא מתאמן. נתון כי משוואת ישר הרגרסיה לניבוי $y$ על פי $x$ היא $y = 2.7x + b$. ב. מצאו כמה פעמים בשבוע בממוצע מתאמן ספורטאי בקבוצה זו, וכמה שעות בשבוע בממוצע הוא מתאמן. ג. מצאו את ערך הפרמטר $b$. ד. נתון כי היחס בין סטיות התקן של הנתונים בטבלה 2 הוא $\frac{S_y}{S_x} = 3.45$. חשבו את הערך של $r$.
הטיפ של עובד
חברים, תזכרו את חוק הזהב של קווי הרגרסיה: נקודת הממוצעים $(\bar{x}, \bar{y})$ תמיד יושבת על הקו! זה אומר שברגע שמצאתם את הממוצעים, אתם פשוט מציבים אותם במשוואה ומקבלים את $b$ בתוך שניה. אל תנסו לבנות את כל הקו מהתחלה, חבל על הזמן שלכם.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: זיהוי מתאמים
בטבלה 1: על כל עלייה של 1 ב-$x$, ה-$y$ עולה בדיוק ב-2. זהו קשר ליניארי מושלם חיובי ($r=1$). בטבלה 3: על כל עלייה של 1 ב-$x$, ה-$y$ יורד בדיוק ב-1. זהו קשר ליניארי מושלם שלילי ($r=-1$). בטבלה 2: המגמה חיובית אך לא מושלמת ($r$ בין 0 ל-1).
מושגים: מקדם מתאם, קשר ליניארי, מגמה, קורלציה
שלב 2: חישוב ממוצעים
\bar{x} = \frac{4+5+6+7+8}{5} = \frac{30}{5} = 6 \bar{y} = \frac{9+11+19+22+17}{5} = \frac{78}{5} = 15.6
מושגים: ממוצע, חישוב סטטיסטי, נתונים
שלב 3: מציאת פרמטר b
נציב את נקודת הממוצעים $(6, 15.6)$ במשוואה $y = 2.7x + b$: 15.6 = 2.7 \cdot 6 + b 15.6 = 16.2 + b b = -0.6
מושגים: קו רגרסיה, משוואת קו, פרמטר, אלגברה
שלב 4: חישוב מקדם המתאם r
לפי הנוסחה לשיפוע קו הרגרסיה: $a = r \cdot \frac{S_y}{S_x}$ נתון $a = 2.7$ ו-$\frac{S_y}{S_x} = 3.45$ 2.7 = r \cdot 3.45 r = \frac{2.7}{3.45} \approx 0.7826
מושגים: מקדם מתאם, סטיית תקן, שיפוע רגרסיה, חישוב
