הסתברות · התפלגות בינומית והסתברות מותנית

השאלה

בחווה חקלאית גדולה מגדלים אבוקדו. חלק מהאבוקדו מוגדרים כ"איכות ייצוא", והשאר לא. אם בוחרים באקראי 9 אבוקדו מן החווה, ההסתברות ש-4 מהם בדיוק הם באיכות ייצוא גדולה פי 24 מן ההסתברות ש-6 מהם בדיוק הם באיכות ייצוא. (א) מהי ההסתברות שאבוקדו שנבחר באקראי הוא באיכות ייצוא? (ב) בוחרים באקראי 6 אבוקדו. ידוע שלפחות 3 מהם הם באיכות ייצוא. מהי ההסתברות ש-4 מהם בדיוק הם באיכות ייצוא? (ג) חקלאי בוחר באקראי אבוקדו, בזה אחר זה, עד שהוא מוצא בדיוק 3 שהם באיכות ייצוא. מהי ההסתברות שהחקלאי יבדוק בדרך זו בדיוק 6 אבוקדו?

הטיפ של עובד

שני מוקשים יש בשאלה הזו: הראשון באלגברה של סעיף א' – אל תפתחו את החזקות הגבוהות! פשוט חלקו את אגפי המשוואה בחזקות הקטנות יותר כדי לצמצם אותן, ותישארו עם משוואה ריבועית פשוטה. המוקש השני הוא בסעיף ג': המילים "עד ש..." משנות את כל התמונה! זה לא סתם ברנולי של 3 הצלחות מתוך 6, כי זה רצף כרונולוגי שחייב להסתיים בהצלחה בבדיקה השישית. מחלקים את זה לשניים: ב-5 הבדיקות הראשונות היו בדיוק 2 אבוקדו טובים (ברנולי רגיל), כפול הבדיקה השישית שבה בטוח יצא אבוקדו טוב.

פתרון מודרך, צעד אחר צעד

שלב 1: סעיף א' - בניית המשוואה וצמצום החזקות

נסמן ב-$p$ את ההסתברות לאבוקדו איכותי (הצלחה). נשתמש בנוסחת ברנולי: \binom{9}{4} \cdot p^4 \cdot (1-p)^5 = 24 \cdot \binom{9}{6} \cdot p^6 \cdot (1-p)^3 126 \cdot p^4 \cdot (1-p)^5 = 24 \cdot 84 \cdot p^6 \cdot (1-p)^3 126 \cdot p^4 \cdot (1-p)^5 = 2016 \cdot p^6 \cdot (1-p)^3 נחלק את שני האגפים ב-$p^4$ וב-$(1-p)^3$ (מותר כי ההסתברות אינה 0 או 1): 126 \cdot (1-p)^2 = 2016 \cdot p^2 (1-p)^2 = 16p^2 נוציא שורש לשני האגפים. מכיוון ש-$p$ הסתברות חיובית, ניקח רק את התוצאה החיובית: 1-p = 4p \implies 5p = 1 \implies p = 0.2

מושגים: משוואה, ברנולי, הסתברות

שלב 2: סעיף ב' - הסתברות מותנית עם ברנולי

P(k=4 | k \ge 3) = \frac{P(k=4 \cap k \ge 3)}{P(k \ge 3)} = \frac{P(k=4)}{P(k=3)+P(k=4)+P(k=5)+P(k=6)} P(k=4) = \binom{6}{4}(0.2)^4(0.8)^2 = 0.01536 P(k \ge 3) = 1 - P(k \le 2) = 1 - [P(0)+P(1)+P(2)] = 1 - 0.90112 = 0.09888 P(k=4 | k \ge 3) = \frac{0.01536}{0.09888} = \frac{16}{103} \approx 0.1553

מושגים: הסתברות מותנית, ברנולי

שלב 3: סעיף ג' - התפלגות בינומית עם תנאי עצירה

כדי שהאבוקדו ה-3 באיכות ייצוא יופיע בדיוק בבדיקה השישית, חייבים להתקיים שני תנאים ברצף: ב-5 הבדיקות הראשונות מצאנו בדיוק 2 אבוקדו באיכות ייצוא (ברנולי רגיל), וגם בבדיקה ה-6 עצמה מצאנו את האבוקדו ה-3. P = \left[ \binom{5}{2} \cdot (0.2)^2 \cdot (0.8)^3 \right] \times 0.2 P = [10 \cdot 0.04 \cdot 0.512] \cdot 0.2 P = 0.2048 \cdot 0.2 = 0.04096

מושגים: ברנולי שלילי, הסתברות מותנית, עצירה

חזרה לקטלוג

#37הסתברות

התפלגות בינומית והסתברות מותנית

קראו את השאלה

שאלה

(א) מהי ההסתברות שאבוקדו שנבחר באקראי הוא באיכות ייצוא?

(ב) בוחרים באקראי 6 אבוקדו. ידוע שלפחות 3 מהם הם באיכות ייצוא. מהי ההסתברות ש-4 מהם בדיוק הם באיכות ייצוא?

(ג) חקלאי בוחר באקראי אבוקדו, בזה אחר זה, עד שהוא מוצא בדיוק 3 שהם באיכות ייצוא. מהי ההסתברות שהחקלאי יבדוק בדרך זו בדיוק 6 אבוקדו?