סדרות · סדרה הנדסית, סדרה חדשה וסימנים מתחלפים
השאלה
נתונה סדרה הנדסית $a_n$ שכל $n$ האיברים שלה הם חיוביים. סכום $n-3$ האיברים האחרונים גדול פי 8 מסכום $n-3$ האיברים הראשונים. (א) מצא את מנת הסדרה ההנדסית, $q$. מגדירים סדרה חדשה: $b_n = a_n \cdot a_{n+1}$. (ב) הוכח כי הסדרה $b_n$ היא סדרה הנדסית, ומצא את מנת הסדרה החדשה. (ג) נתון כי האיבר הראשון בסדרה החדשה הוא $b_1 = 8$. מצא את האיבר הראשון בסדרה המקורית, $a_1$. נסמן ב-$2k$ את מספר האיברים בסדרה (מספר זוגי). נגדיר שני סכומים: S_{2k} = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_{2k} T_{2k} = a_1 - a_2 + a_3 - ... - a_{2k} (ד) חשב את היחס $\frac{S_{2k}}{T_{2k}}$.
הטיפ של עובד
בשאלון 571 אנחנו פוגשים הרבה 'סדרות חדשות'. הכלל להוכחת סדרה הנדסית הוא תמיד אותו כלל: מחלקים את איבר ה-$n+1$ באיבר ה-$n$ ומראים שהתוצאה היא מספר קבוע (ללא $n$). אל תנסו 'לנחש' - פשוט תציבו את ההגדרה במדויק ותצמצמו! ולגבי סעיף ד', סדרה עם סימנים מתחלפים (+, -, +, -) היא בדיוק אותה סדרה הנדסית ממקודם, רק שהמנה שלה הופכת לשלילית ($-q$). זה הופך את החישוב למשחק ילדים!
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: סעיף א': מציאת המנה q
נסמן את סכום $n-3$ הראשונים ב-$S_{first}$ ואת סכום $n-3$ האחרונים ב-$S_{last}$. האיבר הראשון של הקבוצה האחרונה מתחיל בקיזוז 3 איברים, כלומר ב-$a_4$. S_{first} = \frac{a_1(q^{n-3} - 1)}{q - 1} S_{last} = \frac{a_1 \cdot q^3 \cdot (q^{n-3} - 1)}{q - 1} נציב במשוואה $S_{last} = 8 \cdot S_{first}$: q^3 = 8 \implies q = 2
מושגים: סדרה הנדסית, סכום איברים, משוואה אקספוננציאלית
שלב 2: סעיף ב': הוכחת סדרה הנדסית וחישוב המנה
כדי להוכיח שהסדרה $b_n$ הנדסית, נחשב את היחס $\frac{b_{n+1}}{b_n}$: \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{a_{n+1} \cdot a_{n+2}}{a_n \cdot a_{n+1}} = \frac{a_{n+2}}{a_n} = \frac{a_n \cdot q^2}{a_n} = q^2 היחס קבוע וערכו $2^2 = 4$, לכן $b_n$ היא סדרה הנדסית עם מנה 4.
מושגים: סדרה הנדסית, הוכחה, מנה קבועה
שלב 3: סעיף ג': מציאת האיבר הראשון a_1
נשתמש בנתון $b_1 = 8$: b_1 = a_1 \cdot a_2 = a_1 \cdot a_1 \cdot q = a_1^2 \cdot 2 = 8 a_1^2 = 4 \implies a_1 = 2 (בחרנו את הערך החיובי מכיוון שכל איברי הסדרה חיוביים)
מושגים: סדרה הנדסית, איבר ראשון, משוואה ריבועית
שלב 4: סעיף ד': יחס הסכומים במסדרה עם סימנים מתחלפים
$S_{2k}$ הוא סכום סדרה הנדסית עם מנה $q=2$ ו-$a_1=2$. $T_{2k}$ היא הסדרה זו עם סימנים מתחלפים, שערכה המנה המיוחלת היא $-2$. S_{2k} = \frac{a_1(2^{2k} - 1)}{2 - 1} = a_1(2^{2k} - 1) T_{2k} = \frac{a_1((-2)^{2k} - 1)}{-2 - 1} = \frac{a_1(2^{2k} - 1)}{-3} היחס: \frac{S_{2k}}{T_{2k}} = \frac{a_1(2^{2k} - 1)}{\frac{a_1(2^{2k} - 1)}{-3}} = -3
מושגים: סדרה הנדסית, סכום סדרה, סימנים מתחלפים
