חשבון דיפרנציאלי - בעיות קיצון · בעיות קיצון בגרפים
השאלה
נתונה הפונקציה $f(x) = 2\sqrt{k^2 - 2x^2}$, כאשר $k$ הוא פרמטר חיובי. הנקודות $A$ ו-$B$ הן נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הצירים, כמתואר בסרטוט. הנקודה $O$ היא ראשית הצירים. גרף הפונקציה ונקודות A, B, C א. מצאו את שיעורי הנקודות $A$ ו-$B$. הבע את תשובותיכם באמצעות $k$, אם יש צורך. הנקודה $C$ נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ ברביע הראשון (ראו סרטוט). נסמן ב-$t$ את שיעור ה-$x$ של הנקודה $C$. ב. (1) הביעו באמצעות $k$ ו-$t$ את שטח המשולש $AOC$. (2) הביעו באמצעות $k$ ו-$t$ את שטח המשולש $BOC$. ג. הביעו באמצעות $k$ את הערך של $t$ שבעבורו שטח המרובע $AOBC$ הוא מקסימלי. ד. נתון כי שטח המרובע $AOBC$ המקסימלי הוא 16. מצאו את הערך של $k$.
הטיפ של עובד
במרובע כמו $AOBC$, שבו האלכסונים אינם בהכרח מאונכים, הדרך הכי בטוחה היא לחלק אותו לשני משולשים פשוטים: משולש שיושב על ציר ה-$y$ ומשולש שיושב על ציר ה-$x$. בצורה הזו, שיעור ה-$x$ של נקודה $C$ הוא הגובה של המשולש הראשון, ושיעור ה-$y$ שלה הוא הגובה של המשולש השני.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: מציאת נקודות החיתוך
חיתוך עם ציר ה-$y$ (נקודה $A$): נציב $x=0$. f(0) = 2\sqrt{k^2 - 0} = 2k \Rightarrow A(0, 2k) חיתוך עם ציר ה-$x$ (נקודה $B$): נציב $y=0$. 0 = 2\sqrt{k^2 - 2x^2} \Rightarrow k^2 = 2x^2 \Rightarrow x = \frac{k}{\sqrt{2}} \Rightarrow B\left(\frac{k}{\sqrt{2}}, 0\right)
מושגים: חיתוך עם צירים, פרמטר חיובי, שורש ריבועי
שלב 2: ביטוי שטחי המשולשים
הנקודה $C$ על הגרף היא: $C(t, 2\sqrt{k^2 - 2t^2})$. (1) שטח $\triangle AOC$: בסיס $AO = 2k$, גובה (ניצב מ-$C$ לציר $y$) הוא $t$. S_{AOC} = \frac{2k \cdot t}{2} = kt (2) שטח $\triangle BOC$: בסיס $OB = \frac{k}{\sqrt{2}}$, גובה (ניצב מ-$C$ לציר $x$) הוא שיעור ה-$y$ של $C$. S_{BOC} = \frac{\frac{k}{\sqrt{2}} \cdot 2\sqrt{k^2 - 2t^2}}{2} = \frac{k}{\sqrt{2}}\sqrt{k^2 - 2t^2}
מושגים: שטח משולש, בסיס וגובה, נקודה על עקומה
שלב 3: מציאת הערך של t שנותן שטח מקסימלי
פונקציית השטח הכולל של המרובע: $S(t) = kt + \frac{k}{\sqrt{2}}\sqrt{k^2 - 2t^2}$. גוזרים: $S'(t) = k - \frac{\sqrt{2}kt}{\sqrt{k^2 - 2t^2}}$. משווים לאפס (ומצמצמים ב-$k > 0$): 1 - \frac{\sqrt{2}t}{\sqrt{k^2 - 2t^2}} = 0 \Rightarrow \sqrt{k^2 - 2t^2} = \sqrt{2}t העלאה בריבוע: $k^2 - 2t^2 = 2t^2 \Rightarrow k^2 = 4t^2 \Rightarrow t = \frac{k}{2}$. בדיקת טבלה: כאשר $0.4k < t < 0.5k$ הנגזרת חיובית (עלייה), וכאשר $0.5k < t < 0.6k$ הנגזרת שלילית (ירידה). לכן $t = 0.5k$ הוא נקודת מקסימום.
מושגים: נגזרת, קיצון יחסי, טבלת סימנים
שלב 4: מציאת הפרמטר k
מציבים את הקיצון $t = 0.5k$ בפונקציית השטח: S_{max} = k \cdot 0.5k + \frac{k}{\sqrt{2}}\sqrt{k^2 - 2(0.5k)^2} = 0.5k^2 + \frac{k}{\sqrt{2}}\sqrt{k^2 - 0.5k^2} = 0.5k^2 + \frac{k}{\sqrt{2}} \cdot \frac{k}{\sqrt{2}} = 0.5k^2 + 0.5k^2 = k^2 נתון $S_{max} = 16$, לכן: k^2 = 16 \Rightarrow k = 4
מושגים: שטח מקסימלי, משוואה, פתרון משוואה
פוקוס המורה הפרטי
בנייה של פונקציית שטח למרובע על הצירים והוכחת קיצון באמצעות נגזרת וטבלת סימנים
