פונקציות רציונליות · חקירה מלאה ושיקוף סביב ציר ה-y
השאלה
נתונה הפונקצייה: f(x) = \frac{x-4}{x-2} ענו על הסעיפים הבאים עבור הפונקציה הנתונה. סעיף א' - מצאו את המאפיינים הבאים: 1. תחום ההגדרה של הפונקצייה. 2. משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים. 3. נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה עם הצירים. 4. תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה. סעיף ב' - סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה $f(x)$. סעיף ג' (חשיבה) - נגדיר פונקציה חדשה $g(x) = f(-x)$. 1. מהי משוואת האסימפטוטה האנכית של הפונקציה $g(x)$? 2. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $g(x)$. נמקו את הקשר בין הגרפים.
הטיפ של עובד
שימו לב, כשמבצעים שיקוף $f(-x)$, אנחנו בעצם יוצרים תמונת מראה צדדית. כל מה שהיה בצד ימין (חיובי) עובר לצד שמאל (שלילי). לכן, אם האסימפטוטה הייתה ב-$x=2$, היא חייבת "לקפוץ" ל-$x=-2$.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: תחום הגדרה
המחנה צריך להיות שונה מאפס: $x - 2 \neq 0$, ולכן $x \neq 2$.
מושגים: תחום הגדרה, פונקציה רציונלית
שלב 2: אסימפטוטות
אסימפטוטה אנכית: $x = 2$ (המחנה מתאפס אך המונה לא). אסימפטוטה אופקית: החזקות של $x$ במונה וברומחנה זהות (שניהן 1). המקדם של המונה הוא 1 ושל המחנה הוא 1, ולכן $y = \frac{1}{1} = 1$.
מושגים: אסימפטוטה אנכית, אסימפטוטה אופקית
שלב 3: נקודות חיתוך עם הצירים
חיתוך עם ציר y: $f(0) = \frac{0-4}{0-2} = \frac{-4}{-2} = 2$, נקודה $(0, 2)$. חיתוך עם ציר x: נפתור $x - 4 = 0$, ולכן $x = 4$, נקודה $(4, 0)$.
מושגים: חיתוך צירים
שלב 4: תחומי עלייה וירידה
נגזור בעזרת כלל המנה: $f'(x) = \frac{1 \cdot (x-2) - (x-4) \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{2}{(x-2)^2}$. מכיוון ש-$2 > 0$ ו-$(x-2)^2 > 0$ לכל $x \neq 2$, הנגזרת חיובית בכל תחום ההגדרה. הפונקציה עולה בתחום $x < 2$ וגם בתחום $x > 2$.
מושגים: נגזרת, מונוטוניות
שלב 5: סקיצה של הגרף f(x)
הגרף מורכב משני ענפים: בצד שמאל של $x=2$ הפונקציה עולה מ-$y=1$ לכיוון $+\infty$, חוצה את הנקודה $(0,2)$. בצד ימין של $x=2$ הפונקציה עולה מ-$-\infty$ לכיוון $y=1$, חוצה את הנקודה $(4,0)$.
מושגים: סקיצה גרפית, ענפי הפונקציה
שלב 6: שיקוף סביב ציר y: g(x) = f(-x)
בשיקוף סביב ציר y, כל נקודה $(x, y)$ בגרף של $f$ הופכת ל-$(-x, y)$ בגרף של $g$. האסימפטוטה האנכית בשעבר $x=2$ מתנועה ל-$x=-2$. האסימפטוטה האופקית $y=1$ נשארת בכی מקומה. הגרף של $g(x)$ הוא תמונת מראה מלאה של $f(x)$ סביב ציר ה-y.
מושגים: שיקוף, טרנספורמציה
פוקוס המורה הפרטי
הבנת השיקוף כטרנספורמציה גיאומטרית והשפעתה על אסימפטוטות אנכיות
